bonjour
exercice numéro 27 a)
théorèmeun parallélogramme a ses diagonales qui se coupent en leur milieu
les diagonales sont [AC] et [BD]
nous allons chercher le milieu de diagonales du quadrilatère ABCD
milieu de AC =( (xc+xa)/2 ; (yc+ya)/2)
= ( -4+3)/2 ; ( 0+1) /2
=(-1/2 ; 1/2)
milieu de BD= ((xd+xb)/2 ; (yd+yb)/2)
= ( -3+2)/2 ; ( -2+3) /2
=( -1/2 ; 1/2)
[AC] et [BD] ont le m^me milieu
puisque les diagonales de ABCD ont le même milieu
on peut affirmer que ABCD est un parallélogramme.
ABCD est un rectangle s'il a un angle droit
car théorème
un parallélogramme qui a un angle droit est un rectangle.
on calcule AB²
AB² = (xb-xa)² +(yb-ya)²
=(2 -3)² +(3-1)²
=(-1)² +(2)² = 1 +4 = 5
on calcule AD²
AD²=(xd-xa)² +(yd-ya)²
=(-3-3)² +(-3-1)²
=0² (-4)² = 16
on calcule BD²
BD²= (xd-xb)² +(yd-yb)²
= ( -3 -2)² +( -2 -3)²
= (-5)² +(-5)² = 25 +25 = 50
AB²+ AD² = 5 +16 = 25
BD² = 25
d'après la réciproque du théorème de Pythagore :
on a l'égalité AB²+ AD² = BD²
on peut affirmer que
l'angle A est droit
donc ABCD est un rectangle
Exercice 32
on considère le triangle OAB
(AM) perpendiculaire (OB) énoncé
donc (AM) est une hauteur du triangle
(OAB)
(BM) perpendiculaire (OA) énoncé
donc (BM) est une hauteur du triangle
(OAB)
AB est le troisième côté du triangle
OAB
la 3ème hauteur du triangle OAB
passe par le 3ème sommet O
et elle passe par le point M
point d'intersection des hauteurs
et elle est donc perpendiculaire au
3ème côté [AB]
donc (OM) perpendiculaire à (AB)
b)
on considère le triangle OAM
(BM) perpendiculaire à (OA) énoncé
donc (BM) hauteur de OAM (hauteur
issue du sommet M)
La perpendiculaire au côté [AM] issue
du sommet O coupe (AM) en B.
(énoncé (AM) perpendiculaire (OB))
donc (OB) hauteur de OAM
B est le point d'intersection des
hauteurs(BM) et (OB) du triangle OAM
B est l'orthocentre du triangle OAM.
