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Bonjour
Annacazzola2000
a) Le coût du SMS est égal à 1 €.
Si le joueur gagne 10 €, alors son gain net est égal à 10 - 1 = 9 €.
Si le joueur gagne 5 €, alors son gain net est égal à 5 - 1 = 4 €.
Si le joueur "gagne" 0 €, alors son "gain" net est égal à 0 - 1 = -1 €.
Donc X peut prendre les valeurs 9, 4 ou -1.
La probabilité de gagner 9 € est égale à [tex]\dfrac{1}{n}[/tex]
La probabilité de gagner 4 € est égale à [tex]\dfrac{3}{n}[/tex]
La probabilité de "gagner" (-1) € est égale à [tex]\dfrac{n-4}{n}[/tex]
Le jeu est équitable si l'espérance mathématique du gain E(X) est égal à 0.
[tex]E(X)=0\\\\9\times\dfrac{1}{n}+4\times\dfrac{3}{n}+(-1)\times\dfrac{n-4}{n}=0\\\\\\\dfrac{9}{n}+\dfrac{12}{n}-\dfrac{n-4}{n}=0\\\\\\\dfrac{9+12-n+4}{n}=0\\\\\\\dfrac{25-n}{n}=0\\\\25-n=0\\\\\boxed{n=25}[/tex]
Nombre de cases avec "zéro" : 25 - 4 = 21
Par conséquent,
il faudra mettre 21 cases de valeur de 0 € dans le jeu pour qu'il soit équitable.
b) n = 20
Notons par m le montant de la mise, soit le coût du SMS.
Alors X peut prendre les valeurs 10-m, 5-m ou 0-m.
[tex]E(X)=0\\\\(10-m)\times\dfrac{1}{20}+(5-m)\times\dfrac{3}{20}+(0-m)\times\dfrac{16}{20}=0\\\\\\\dfrac{10-m}{20}+\dfrac{3(5-m)}{20}-\dfrac{16m}{20}=0\\\\\\\dfrac{10-m+3(5-m)-16m}{20}=0\\\\10-m+3(5-m)-16m=0\\\\10-m+15-3m-16m=0\\\\25-20m=0\\\\20m=25\\\\\boxed{m=\dfrac{25}{20}=1,25}[/tex]
Par conséquent,
pour que le jeu soit équitable, le coût du SMS doit être de 1,25 €.
a) Le coût du SMS est égal à 1 €.
Si le joueur gagne 10 €, alors son gain net est égal à 10 - 1 = 9 €.
Si le joueur gagne 5 €, alors son gain net est égal à 5 - 1 = 4 €.
Si le joueur "gagne" 0 €, alors son "gain" net est égal à 0 - 1 = -1 €.
Donc X peut prendre les valeurs 9, 4 ou -1.
La probabilité de gagner 9 € est égale à [tex]\dfrac{1}{n}[/tex]
La probabilité de gagner 4 € est égale à [tex]\dfrac{3}{n}[/tex]
La probabilité de "gagner" (-1) € est égale à [tex]\dfrac{n-4}{n}[/tex]
Le jeu est équitable si l'espérance mathématique du gain E(X) est égal à 0.
[tex]E(X)=0\\\\9\times\dfrac{1}{n}+4\times\dfrac{3}{n}+(-1)\times\dfrac{n-4}{n}=0\\\\\\\dfrac{9}{n}+\dfrac{12}{n}-\dfrac{n-4}{n}=0\\\\\\\dfrac{9+12-n+4}{n}=0\\\\\\\dfrac{25-n}{n}=0\\\\25-n=0\\\\\boxed{n=25}[/tex]
Nombre de cases avec "zéro" : 25 - 4 = 21
Par conséquent,
il faudra mettre 21 cases de valeur de 0 € dans le jeu pour qu'il soit équitable.
b) n = 20
Notons par m le montant de la mise, soit le coût du SMS.
Alors X peut prendre les valeurs 10-m, 5-m ou 0-m.
[tex]E(X)=0\\\\(10-m)\times\dfrac{1}{20}+(5-m)\times\dfrac{3}{20}+(0-m)\times\dfrac{16}{20}=0\\\\\\\dfrac{10-m}{20}+\dfrac{3(5-m)}{20}-\dfrac{16m}{20}=0\\\\\\\dfrac{10-m+3(5-m)-16m}{20}=0\\\\10-m+3(5-m)-16m=0\\\\10-m+15-3m-16m=0\\\\25-20m=0\\\\20m=25\\\\\boxed{m=\dfrac{25}{20}=1,25}[/tex]
Par conséquent,
pour que le jeu soit équitable, le coût du SMS doit être de 1,25 €.
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