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1) Graphiquement, f semble être croissante sur [0,5 ; 2], puis décroissante sur
]2 ; 8]
f(x) = -x+9-(4/x)
ax se dérive en a, un nombre/chiffre seul se dérive en 0 et la forme u/x se dérive en u/x²
f'(x) = -1+0-(-4/x²)
f'(x) = -1+(4/x²)
2)b) f'(x) > 0
-1+(4/x²) > 0
(Je multiplie les 2 membres par x²)
-x²+(4/x²)*x² > 0*x²
-x²+4 > 0
On voit donc que cela revient résoudre l'inéquation -x²+4 > 0, montrant ainsi que f'(x) et -x²+4 ont le même signe.
-x² > -4
x² < 4
Les solutions sont donc -2 et 2 car (-2)² = 4 et 2² = 4
La fonction f'(x) est donc positive quand -2 < x < 2
Le polynôme -x²+4 est également positif quand -2 < x < 2
c) La fonction f'(x) est donc négative sur [0,5 ; 2] et positive sur ]2 ; 8].
3)a) On sait que les variations d'une fonction dépendent du signe de sa fonction dérivée. Si la fonction dérivée est négative sur un certain intervalle, sa fonction de référence sera décroissante et inversement.
On sait donc que f(x) sera décroissante sur [0,5 ; 2] puis croissante sur ]2 ; 8].
Afin de compléter le tableau je cherche les valeurs suivantes :
f(0,5) = -0,5+9-(4/0,5)
f(0,5) = 8,5-8
f(0,5) = 0,5
f(2) = -2+9-(4/2)
f(2) = 7-2
f(2) = 5
f(8) = -8+9-(4/8)
f(8) = 1-0,5
f(8) = 0,5
(Tableau de variation en pièce jointe)
b) Je résous l'inéquation f(x) > 0
-x+9-(4/x) > 0
-x²+9x-4 > 0
x²-9x+4 < 0
Δ = b²-4ac
Δ = (9)²-4*1*4
Δ = 81-16
Δ = 65
x1 = (-b+√Δ)/2a
x1 = (9+√65)/2*1
x1 ≈ 8,53
x2 = (-b-√Δ)/2a
x2 = (9-√65)/2*1
x2 ≈ 0,47
La solution de cette inéquation est donc x∈[0,47 ; 8,53]
La fonction f(x) est donc bien positive sur [0,5 ; 8]
