II)1) -3x²+8x+35 = 0
Δ = b²-4ac
Δ = 8²-4*(-3)*35
Δ = 64+420
Δ = 484
Δ > 0 donc l'équation admet deux solutions appelées racines déterminées comme suit :
x1 = (-b-√Δ)/2a
x1 = (-8-√(484))/(2*(-3))
x1 = (-8-22)/(-6)
x1 = 30/6
x1 = 5
x2 = (-b+√Δ)/2a
x2 = (-8+√(484))/2*(-3)
x2 = (-8+22)/(-6)
x2 = -(14/6)
x2 = -(7/3)
Les solutions de l'équation sont donc S = {-(7/3) ; 5}
2) On sait que le signe d'un polynôme du second degré de la forme
ax²+bx+c est du même signe que le coefficient "a". Le polynôme étudié étant -3x²+8x+35, le coefficient "a" étant -3, le polynôme est donc négatif en dehors de ses racines. (Racines trouvées précédemment).
3) -3x²+8x+35 ≤ 0 peut donc être résolue grâce au démonstrations précédentes.
La solution de cette inéquation est donc l'intervalle ]-∞ ; -(7/3)[∪]5 ; +∞[
III)1)a. f(x) = x²+2x-3
Δ = 2²-4*1*(-3)
Δ = 4+12
Δ = 16
Δ > 0 donc l'équation admet deux solutions appelées racines déterminées comme suit :
x1 = (-b-√Δ)/2a
x1 = (-2-√(16))/(2*1)
x1 = (-2-4)/2
x1 = -3
x2 = (-b+√Δ)/2a
x2 = (-2+√(16))/(2*1)
x2 = (-2+4)/2
x2 = 1
b. On sait que les solutions de f(x) = 0 sont S = {-3 ; 1}. On sait que lors du produit entre 2 membres, si l'un est égal à 0, alors l'autre est aussi égal à 0 comme dans l'exemple suivant :
(ax+b)(ax-b) = 0
Si (ax+b) = 0
on a alors 0*(ax-b) = 0
Et inversement.
On peut ainsi en déduire une factorisation de x²+2x-3 comme suit :
f(x) = (x-1)(x+3)
On voit donc bien que si on résous l'équation
(x-1)(x+3) = 0
soit
x-1 = 0
x = 1
soit
x+3 = 0
x = -3
On a donc les mêmes solutions que lorsque nous avons résolus x²+2x-3.
La factorisation de f(x) = (x-1)(x+3)
2) D'après résolution graphique, les solutions de l'équation f(x) = g(x) sont
S = {-3 ; 2,5} car on voit que les 2 courbes admettent des points d'intersection en (-3 ; 0) et en (2,5 ; 8,2).
3)a. f(x)-g(x)
x²+2x-3-(3/2)(x+3)
J'utilise la forme factorisée de f(x) :
(x-1)(x+3)-(3/2)(x+3)
Je factorise par le membre commun qui est (x+3) :
⇔ (x+3)[(x-1)-(3/2)]
⇔ (x+3)(x-1-(3/2)
⇔ (x+3)(x-(5/2))
b. Comme démontré précédemment, résoudre (x+3)(x-(5/2)) = 0 reviendra à résoudre si l'un ou l'autre membre est égal à 0 :
(x+3)(x-(5/2)) = 0
soit
x+3 = 0
x = -3
soit
x-(5/2) = 0
x = (5/2)
Les solutions de f(x)-g(x) = 0 est le couple S = {-3 ; (5/2)}
c. Oui, nous avions trouvé graphiquement les solutions S = {-3 ; 2,5} qui on bien été démontrées algébriquement avec la résolution de l'équation f(x)-g(x) = 0 qui admet comme solutions S = {-3 ; (5/2)}.
