Pour appliquer le théorème des valeurs intermédiaires, il faut que la fonction soit continue sur |R or toute fonction polynome est continue sur R
Ensuite qu'elle soit strictement monotone, soit strictement croissante, soit strictement décroissante. Comme l'étude ici se fait sur R, il faut étudier le sens de variation de la fonction et pout chaque intervalle donné, étudier si la fonction passe par 2, c'est -à dire si elle a une valeur inférieure à 2 et une autre supérieure à 2
pour étudier le sens de variation de f, déterminons sa dérivée f' f'(x) = 3x²-4x-5
Δ = b²-4ac = (-4)² -4*-15 = 16+60 = 76
Δ positif donc deux solutions : x =( -b-√Δ) /2a =( 4-√76) /6 ≈≈-0.78
x' =( -b+√Δ) /2a =( 4+√76) /6 ≈≈2,12
a>0 x -∞ -0.78 2.12 +∞
f' (x) + - +
f(x) est croissante sur ]-∞ : -0.78[ puis décroissante et croissante
Pour être complet, il faut étudier les limite de f à + l'infini et à - l'infini
étudions les valeurs sur le premier intervalle : ]-∞ : -0.78[
f(-0.78) ≈-1.79 : la courbe part de -∞ jusqu' à -1.79 : elle ne coupe pas l'axe de 2 : donc pas de solution sur cet intervalle
second intervalle ]-0.78 ; 2.12[ la fonction est décroissante à partir de -1.79, elle ne peut pas couper l'axe des 2 : pas de solution sur cet intervalle
sur ]2.12 ; + ∞[ elle est croissante ; la fonction passe t'elle de par et d'autre de l'axe des deux : cherchons une valeur plus petite que deux et une autre plus grande f(3 ) = 3³ -2*3²-5*3-4 = 27-18-15-4 = -10 f(3) est en dessous de 2
f(4) = 4³-2*4²-5*4 -4 = 64-32-20-4 = 8 f(4) est au dessus de 2 : il existe une solution unique pour f(x) = 2
