Bonsoir;
a) On a : g'(x)=[tex] e^{x} -1[/tex] ,
de plus on a : x>0 donc [tex] e^{x} >1[/tex] donc [tex] e^{x}-1 >0[/tex]
donc ∀x>0 on a : g'(x)>0 .
donc pour le tableau de variation , veuillez regarder le fichier-image ci-joint (si nécessaire veuillez zoomer) .
b) g(0)=0 et comme g est strictement croissante sur ]0;+∞[ donc
∀x>0 on a g(x)>g(0)=0 donc ∀x>0 : g(x)>0 .
2)a) h'(x)=[tex] -e^{x} +(2-x)e^{x}=-e^{x}+2e^{x}-xe^{x}=e^{x}-xe^{x}=(1-x)e^{x} [/tex]
Pour le tableau de variation , veuillez regarder le fichier-image ci-joint .
b) On a h est continue sur [1;+∞[ , et d'après le tableau de variation , h est décroissante sur [1;+∞[ ,
et comme h(1)=[tex] e^{x} -1[/tex] = 1,72>0 et h(2)=-1<0 alors d'après le théorème des valeurs intermédiaires on a h s'annule au moins en un point de ]1;2[ , appelons α ce point .
c) On a h(1,84)=0,007 et h(1,85)=-0,046 ,donc on a :
h(1,85)<h(α)<h(1,84) et comme h est décroissante donc 1,84<α<1,85 .
d) Pour x∈[0;α[ : h(x)>0
pour x=α : h(x)=0
pour x>α : h(x)<0 .
