Bonjour
Lamiettez
4a) La fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1].
[tex]f(t)=2te^{-t}\Longrightarrow f(0)=0\ \ et\ \ f(1)=2e^{-1}=\dfrac{2}{e}\approx0,7[/tex]
D'où la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [0 ; 1] et les images de f appartiennent à l'intervalle [0 ; 2/e]
Nous utilisons le théorème des valeurs intermédiaires.
Puisque 0,2 ∈ [0 ; 2/e] , l'équation f(t)=0,2 admet une solution unique [tex]t_1[/tex] dans l'intervalle [0 ; 1]
c'est-à-dire qu'il existe une valeur unique [tex]t_1\in[0;1][/tex] telle que [tex]f(t_1)=0,2[/tex]
en outre,
la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle [1 ; +oo[.
[tex]f(t)=2te^{-t}\Longrightarrow f(1)=2e^{-1}=\dfrac{2}{e}\approx0,7\ \ \ et\ \ \lim\limits_{t\to+\infty}f(t)=0[/tex]
D'où la fonction f est continue et strictement décroissante sur l'intervalle
[1 ; +oo[ et les images de f appartiennent à l'intervalle ]0 ; 2/e]
Puisque 0,2 ∈ ]0 ; 2/e] , l'équation f(t)=0,2 admet une solution unique [tex]t_2[/tex] dans l'intervalle [1 ; +oo[
c'est-à-dire qu'il existe une valeur unique [tex]t_2\in[1 ; +\infty[[/tex] telle que [tex]f(t_2)=0,2[/tex]
