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Partie A :1) g(x)=x²-6x-7=x²-6x+9-16=(x-3)²-16 car identité remarquable : a²+b²-2ab=(a-b)²2) Le coefficient de x² est 1 donc positif, la fonction est donc décroissante puis croissante.Le minimum est au point A(xA;g(xA))Or on sait que xA=-b/2a=-(-6)/2=3g(xA)=f(3)=(3-3)²-16=-16Donc le minimum est au point A(3;-16)3) g(x)=(x-3)²-16=(x-3)²-4²=(x-3+4)(x-3-4)=(x+1)(x-7)4) On détermine le signe de x+1 selon x puis x-7 selon x puis en on en déduit le signe de g(x) :x+1 est négatif sur ]-∞;-1[, vaut 0 à x=-1 et est positif sur ]-1;+∞[x-7 est négatif sur ]-∞;7[, vaut 0 à x=7 et est positif sur ]7;+∞[Donc g(x)=(x+1)(x-7) est positif sur ]-∞;-1[, vaut 0 à x=-1 puis devient négatif sur ]-1;7[, vaut 0 à x=7 puis est positif sur ]7;+∞[
Partie B:1) f(x)=(x²-8x+1)e^xdonc f'(x)=(2x-8)e^x+(x²-8x+1)e^x=(2x-8+x²-8x+1)e^x=(x²-6x-7)e^x=g(x)e^x2) e^x est strictement positive donc f'(x) a le même tableau de signes que g(x).On en déduit le tableau de variations de la fonction f. (quand f' est positive, f est croissante, quand f' est négative, f est décroissante).
Partie B:1) f(x)=(x²-8x+1)e^xdonc f'(x)=(2x-8)e^x+(x²-8x+1)e^x=(2x-8+x²-8x+1)e^x=(x²-6x-7)e^x=g(x)e^x2) e^x est strictement positive donc f'(x) a le même tableau de signes que g(x).On en déduit le tableau de variations de la fonction f. (quand f' est positive, f est croissante, quand f' est négative, f est décroissante).
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