Voyons si on ne peut pas simplifier un peu.
6!=6*5*4*3*2*1 donc 6!=18*5*4*2*1 donc 6! est un multiple de 18, il est donc divisible par 18.
De même 7!=7*6*5*4*3*2*1=18*7*5*4*2*1 donc 7! est un multiple de 18.
Toutes les factorielles supérieures à 6 sont calculées avec 6*3=18 donc sont des multiples de 18, autrement dit elles divisent 18.
On peut ramener le problème à une simple congruence.
1!+2!+3!+...+98!+99!+100! ≡ 1!+2!+3!+4!+5! [18] (c'est-à-dire, la somme des factorielles de 1 à 100 est congrue à la somme des factorielles de 1 à 5 modulo 18).
On sait que 1!+2!+3!+4!+5! = 153 (à la calculatrice).
On a donc 1!+2!+3!+...+98!+99!+100! ≡ 1!+2!+3!+4!+5! ≡ 153 ≡ 9 [18]
9 est bien le reste de la division par 18 car on a la relation 0 ≤ 9 < 18
Donc le reste de la division de 1!+2!+3!+...+98!+99!+100! par 18 est 9.
