Bonjour,
f(x) = x³ + 3x² + 3x + 1
f'(x) = 3x² + 6x + 3
La courbe admet une tangente horizontale aux points d'abscisses tels que f'(x) = 0
f'(x) = 0
⇔ 3x² + 6x + 3 = 0
⇔ x² + 2x + 1 = 0
⇔ (x + 1)² = 0
⇒ x = -1
f(-1) = (-1)³ + 3(-1)² -3 + 1 = 0
Donc la courbe représentative de f admet une tangente horizontale au point M(-1;0).
Points A, B, C d'abscisses respectives 0, -2 et 1
f(0) = 1 ⇒ A(0;1)
f(-2) = -1 ⇒ B(-2;-1)
f(1) = 8 ⇒ C(1;8)
f'(0) = 3 et f'(-2) = 3
⇒ Les tangentes TA et TB ont le même coefficient directeur. Donc elles sont parallèles.
f'(1) = 12
⇒ Les tangentes TB et TC n'ont pas le même coefficient directeur. Donc elles ne sont pas parallèles et par conséquent sont sécantes.
Equation de TB : y = f'(-2)(x + 2) + f(-2)
soit TB : y = 3(x + 2) - 1 = 3x + 5
Equation de TC : y = f'(1)(x - 1) + f(1)
soit TC : y = 12(x - 1) + 8 = 12x - 4
Intersection de TB et TC :
3x + 5 = 12x - 4
⇔ 9x = 9 ⇒ x = 1
Le point d'intersection de TB et de TC est donc le point de coordonnées (1;8).
Voir graphique joint (pas à l'échelle demandée). La tangente horizontale est l'axe Ox.
