Bonjour
Houdarosa,
1) x ∈ ]0 ; 10[
2) AMIQ est un carré de côté x ===> Aire(AMIQ) = x²
INCP est un carré de côté (10-x) ===> Aire(INCP) = (10-x)²
Aire de la surface grise = Aire(AMIQ) + Aire(INCP)
= x² + (10 - x)²
La question du problème peut se déterminer en résolvant l'inéquation suivante :
x² + (10 - x)² ≤ 58
Développons le carré.
x² + 100 - 20x + x² ≤ 58
2x² - 20x + 100 ≤ 58
2x² - 20x + 100 - 58 ≤ 0
2x² - 20x + 42 ≤ 0
3) a) Développons (2x - 14)(x - 3)
(2x - 14)(x - 3) = 2x*x - 2x*3 - 14*x - 14*(-3) (* est le signe de la
multiplication)
(2x - 14)(x - 3) = 2x² - 6x - 14x + 42
(2x - 14)(x - 3) = 2x² - 20x + 42
b) Résolution du problème.
Il faut résoudre l'inéquation 2x² - 20x + 42 ≤ 0
Il faut donc résoudre l'inéquation (2x - 14)(x-3) ≤ 0
Tableau de signes dans l'intervalle ]0 ; 10[
Racines :
2x - 14 => 0 ===> 2x = 14 ===> x = 7
x - 3 = 0 ===> x = 3
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&0&&3&&7&&10\\2x-14&&-&-&-&0&+&\\x-3&&-&0&+&+&+&\\(2x-14)(x-3)&&+&0&-&0&+&\\ \end{array}\\\\\\\\(2x-14)(x-3)\le0\Longleftrightarrow\boxed{x\in]0;3]\ \cup\ [7;10[}[/tex]
Par conséquent,
l'aire de la surface grise soit inférieure ou égale à 58 cm² si la distance AM est inférieure ou égale à 3 cm ou encore si la distance AM est supérieure ou égale à 7 cm.
