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MÉLISSA75019VIZ
résolu

Bonsoir, je vous en prie de m'aider! j'ai n DM de math a faire pour demain :

voici le dm et merci d'avance : DROITE D'EULER
les carreaux c'est quand c'est un vecteurs, dsl yavai pas le symbole..
Soit ABC un triangle, O le centre du cercle circonscrit à ce triangle et G son centre de gravité.
Soit H le point défini par: OH = OA + OB + OC.
1. Soit A' milieu de [BC], écrire OA' en fonction de OB et OC.
2. Démontrer que AH et OA' sont colinéaires.
3. Déduire de 1) et 2) que (AH) est une hauteur du triangle ABC.
4. De manière analogue, montrer H appartient aux deux autres hauteurs (BH) et (CH).
5. Soit M un point quelconque du plan. Démontrer que
3 MG = MA + MB + MC.
6. En choisisant M = O ,en déduire que les points O, H, G sont alignés

Répondre :

TRUDELMICHELVIZ
bonjour,
OA'=OC+CB/2
OA'=OC+CA'
OA'=OC+(CO+OB)/2
OA'=(2OC+CO+OB)/2
OA'=(0C+OB)/2

AH=A0+0H
AH=A0+OA+OB+OC
AH=OB+OC
OA'=1/2( OB+OC)
OA'=1/2 AH
OA' et AH sont colinéiares
O centre du cercle
A' milieu de la corde BC
alors OA' perpendiculaire à BC
d'où
AH perpendiculaire àBC
AH hauteur issue de A

OB'=OC+CB'
OB'=OC+CA/2
OB'= OC+(CO+OA)/2
OB'=(2 OC+CO+OA)/2
OB'=1/2(OC+OA)
BH=BO+OH
BH=BO+OA+OB+ OC
BH=AO+OC
OB'=1/2 BH
OB' et BH colinéaires
O centre du cercle
B' milieu de la corde AC
d'où OB' perpendiculaire àAC
d'où
BH perpendiculaire àAC
BH est une hauteur issue de B

OC'=0A+AC'
OC'=OA+(AB/2)
OC'=OA+(AO+OB)/2
OC'= (2OA+AO+OB)/2
OC'= (OA+OB)/2
CH=CO+OH
CH=CO+OA+OB+OC
CH= OA+OB
OC'=1/2 CH
OC' et  CH sont colinéaires
O centre du cercle
C' milieu d'une corde AB
d'où OC' perpendiculaire àAB
D'où CH perpendiculaire à AB
CH est une hauteur  issue de C

MG=MA+AG
MG=MB+BG
MG=MC+CG
 3MG= MA+MB+MC+AG+BG+CG
AG+BG+CG=-(GA+GB+GC)
si G centre de gravité du triangle ABC
alors
GA+GB+GC=0
3MG= MA+MB+MC

si M=O
H appartient aux 3 hauteurs c'est l'orthocentre
doù
OH=OA+OB+OC
OH=OG+GA+OG+GB+OG+GC
OH=3OG
OH et OG sont colinéaires
comme O appartient aux 2 vecteurs
O H et G sont alignés
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