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Bonjour
Laetitia2408
Questions 1 et 2a) déjà résolues.
2b) Par Pythagore dans le triangle [tex]OM_nM_{n+1}[/tex] rectangle en O,
[tex](M_nM_{n+1})^2=(OM_n)^2+(OM_{n+1})^2\\\\(M_nM_{n+1})^2=(\dfrac{8}{2^n})^2+(\dfrac{8}{2^{n+1}})^2\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{64}{4^n}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64}{4\times4^n}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64}{4^{n+1}}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64+64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{5\times64}{4^{n+1}}[/tex]
[tex]M_nM_{n+1}=\sqrt{\dfrac{5\times64}{4^{n+1}}}\\\\M_nM_{n+1}=\dfrac{\sqrt{5\times64}}{\sqrt{4^{n+1}}}\\\\\boxed{M_nM_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}}[/tex]
3) Montrons que la suite (Un) est géométrique.
[tex]u_n=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}\Longrightarrow u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+2}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+2}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2\times2^{n+1}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}\\\\\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est : [tex]u_0=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{0+1}}\Longrightarrow\boxed{u_0=4\sqrt{5}}[/tex]
[tex]4)\ l_n=u_0+u_1+...+u_n[/tex]
Il s'agit de calculer la somme de (n+1) premiers termes de la suite géométrique (Un)
[tex]l_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\\\l_n=4\sqrt{5}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\l_n=4\sqrt{5}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\l_n=2\times4\sqrt{5}\times[1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}]\\\\\\\boxed{l_n=8\sqrt{5}\times(1-\dfrac{1}{2^{n+1}})}[/tex]
Questions 1 et 2a) déjà résolues.
2b) Par Pythagore dans le triangle [tex]OM_nM_{n+1}[/tex] rectangle en O,
[tex](M_nM_{n+1})^2=(OM_n)^2+(OM_{n+1})^2\\\\(M_nM_{n+1})^2=(\dfrac{8}{2^n})^2+(\dfrac{8}{2^{n+1}})^2\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{64}{4^n}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64}{4\times4^n}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64}{4^{n+1}}+\dfrac{64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{4\times64+64}{4^{n+1}}\\\\\\(M_nM_{n+1})^2=\dfrac{5\times64}{4^{n+1}}[/tex]
[tex]M_nM_{n+1}=\sqrt{\dfrac{5\times64}{4^{n+1}}}\\\\M_nM_{n+1}=\dfrac{\sqrt{5\times64}}{\sqrt{4^{n+1}}}\\\\\boxed{M_nM_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}}[/tex]
3) Montrons que la suite (Un) est géométrique.
[tex]u_n=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}\Longrightarrow u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+2}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+2}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2\times2^{n+1}}\\\\u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{n+1}}\\\\\boxed{u_{n+1}=\dfrac{1}{2}\times u_n}[/tex]
Par conséquent, la suite (Un) est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est : [tex]u_0=\dfrac{8\sqrt{5}}{2^{0+1}}\Longrightarrow\boxed{u_0=4\sqrt{5}}[/tex]
[tex]4)\ l_n=u_0+u_1+...+u_n[/tex]
Il s'agit de calculer la somme de (n+1) premiers termes de la suite géométrique (Un)
[tex]l_n=u_0\times\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\\\\\\l_n=4\sqrt{5}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\l_n=4\sqrt{5}\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\l_n=2\times4\sqrt{5}\times[1-(\dfrac{1}{2})^{n+1}]\\\\\\\boxed{l_n=8\sqrt{5}\times(1-\dfrac{1}{2^{n+1}})}[/tex]
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