Bonjour
Alexialcrgl7
Question 1
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AB\times AF\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AE\times AC\times\cos(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AF})\ \ (car\ AB=AE\ et\ AF=AC)\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos((\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AE})+(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(-\dfrac{\pi}{2}+(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\dfrac{\pi}{2}-(\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AF}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\dfrac{\pi}{2}+(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE}))[/tex]
[tex]\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos((\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})+(\overrightarrow{AF},\overrightarrow{AE}))\\\\\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=AC\times AE\times\cos(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE})\\\\\boxed{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}}[/tex]
Question 2
[tex]\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI}\\\\\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI} \end{matrix}\right.\Longrightarrow \overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BI})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CI})\\\\\\2\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+(\overrightarrow{BI}+\overrightarrow{CI})[/tex]
[tex]2\overrightarrow{AI}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})+\overrightarrow{0}\\\\2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\\\\boxed{\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}[/tex]
Question 3.
Nous allons utiliser les résultats des deux premières questions.
[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}.\overrightarrow{EF}\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}.(\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AE}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{EA}=0[/tex]
D'où
[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+0+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})\\\\\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF})[/tex]
De plus
[tex](\overrightarrow{AB},\overrightarrow{EA})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{EA}=0\\\\(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AF})=\dfrac{\pi}{2}\Longrightarrow\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AF}=0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}(0+0)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AI}.\overrightarrow{EF}=0}[/tex]
Nous en déduisons que les droites (AI) et (EF) sont perpendiculaires et concluons que la médiane (AI) du triangle ABC est la hauteur du triangle AEF issue du sommet A.
