Bonsoir ;
j'écrirai les vecteurs sans les flêches au dessus .
Partie A :
1) Veuillez consulter le fichier ci-joint .
2) IK = IA+AB+BK = 1/2 DA +AB+1/2 BD
= 1/2 DA + 1/2 AB + 1/2 AB + 1/2 BD = 1/2 (DA+AB+BD)+1/2AB
= 1/2 DD + 1/2 AB = 1/2 AB : (IK) // (AB) // (CD) .
JL=JA+AB+BL = 1/2 CA +AB+ 1/2BC = 1/2 CA + 1/2 AB + 1/2 AB + 1/2 BC
= 1/2(CA+AB+BC) + 1/2 AB
= 1/2 CC + 1/2 AB = 1/2 AB : (JL) // (AB) // (CD) ,
donc IK = JL ,
donc (IK) // (JL) ,
donc (IK) // (JL) // (AB) // (CD) .
3) On a : IJ = IA+AJ = 1/2 DA + 1/2 AC = 1/2 (DA+AC) = 1/2 DC ,
donc (IJ) // (DC) ,
et comme on a (DC) // (JL) donc on a : (IJ) // (JL) ,
donc (IJ) et (JL) sont parallèles et confondues puisqu'elles ont un point en commun : J ,
donc les points I,J et L sont sur la même droite , donc ils sont alignés.
De même , on a (CD) // (IK) donc on a : (IJ) // (IK) ,
donc (IJ) et (IK) sont parallèles et confondues puisqu'elles ont un point en commun : I ,
donc les points I, J et K sont sur la même la droite , donc ils sont alignés .
Puisque les points I, j et L sont alignés et de même les points I, J et K , alors les points I, J, K et L sont alignés .
4) Soit O le milieu de [JK] donc JO = OK .
On a aussi :
IK = IJ+JK et JL = JK+KL ,
donc IJ+JK=JK+KL donc IJ=KL .
IO=IJ+JO=OK+KL=OL donc O est le milieu de [IL] .
5) MO=MB+BL+LO=1/2AB+1/2BC+LO=1/2AB+1/2(BA+AD+DC)+LO
=1/2AB+1/2BA + 1/2AD+1/2DC+LO = 1/2AD+1/2DC+LO
= 1/2AD+DN+LO .
ON=OI+ID+DN=OI+1/2AD+DN ,
et puisque OI=LO on a donc MO=ON ,
donc O est le milieu de [MN] .
