Bonjour ;
J'essaierai de donner - en premier - la réponse à l'exercice n° 19 .
1)
a) Veuillez consulter le fichier ci-joint .
b) On peut conjecturer que ∀ n ∈ N : Un > 0 , que la suite Un est strictement décroissante , et comme elle décroissante et minorée par 0 , qu'elle est convergente.
c) De même , veuillez aussi consulter le fichier ci-joint .
On peut aussi conjecturer que ∀ n ∈ N : Vn > 0 , que la suite Vn est croissante, et qu'elle est divergente .
2) On a : U0 = 1 > 0 ,
supposons que pour un "n" nombre entier naturel , on a : Un > 0 ,
donc on a : 5 Un > 0 et 2 Un + 5 > 5 > 0 ,
donc (5 Un)/(2 Un + 5) > 0 donc U(n+1) > 0 ,
donc ∀ n ∈ N : Un > 0 .
3)
a) ∀ n ∈ N : V(n+1) = 1/U(n+1) = (2 Un + 5)/(5 Un) = 2/5 + 1/Un = Vn + 2/5 ,
donc la suite Vn est une suite arithmétique de raison 2/5 et de premier terme V0 = 1 .
b) Vn = V0 + 2/5 * n = 1 + 2/5 * n .
4)
a) Un = 1/Vn = 1/(1 + 2/5 * n) = 5/(5 + 2 * n) .
b) [tex] \lim_{n \to +\infty} V_n = \lim_{n \to +\infty} \frac{5}{5+2n} = 0[/tex] ,
donc [tex] \lim_{n \to +\infty} U_n = 0[/tex] .
