Bonjour,
Partie A : 1)g(x) = x²-6x-7 = x²-6x+9-9-7 =x²- 6x+3² -9-7= (x-3)²-16
2)Le sens de variation de f dépend du signe de sa dérivée f' :
f'(x) = 2x-6 et 2x-6 > 0 =>2x >6 => x >3
x : -∞ 3 +∞
f'(x) : - 0 +
f(x) : décroissante -16 croissante
f est décroissante sur ]-∞ ; 3[ et croissante sur ]3 ; ∞[
3) g(x) = (x-3)² -16 = (x-3)²-4² de la forme a²-b ² =(a-b)(a+b)
g(x) = (x-3-4) (x-3+4) = (x-7) (x+1)
x : -∞ -1 7 +∞
(x-7) - - 0 +
(x+1) - 0 + +
g(x) + 0 - 0 +
g(x) >0 pour x ∈ ]-∞ ; 1[ ∪ ]7 ; +∞[
g(x) <0 pour x ∈ ]-1 ; 7[
g(x) = 0 pour x=-1 ou x= 7
Partie B
1 f est de la forme u.v alors f' est de la forme u'v+uv' avec
u(x) =x²-8x+1 ; u'(x) 2x-8 ; v(x)=v'(x) =[tex] e^{x} [/tex]
f'(x) = (2x-8)[tex] e^{x} [/tex] + (x²-8x+1)[tex] e^{x} [/tex] =
(2x-8 +x²-8x+1)[tex] e^{x} [/tex] = (x²-6x-7)[tex] e^{x} [/tex]
=g(x)[tex] e^{x} [/tex]
2) le sens de variation de la fonction f dépend du signe de sa dérivée f'
f'(x) =g(x)[tex] e^{x} [/tex] or [tex] e^{x} [/tex] est strictement positif sur |R, le signe de f'(x) dépend du signe de g(x)
f(x) est croissante pour x ∈ ]-∞ ; 1[ ∪ ]7 ; +∞[
f(x) est décroissante pour x ∈ ]-1 ; 7[
