Bonjour Catherine1234
1) Figure en pièce jointe.
[tex]2)\ \overrightarrow{MC}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}\\\\(x_C-x_M;y_C-y_M)=\dfrac{1}{3}(x_C-x_A;y_C-y_A)\\\\(4-x_M;1-y_M)=\dfrac{1}{3}(4+2;1-2)\\\\(4-x_M;1-y_M)=\dfrac{1}{3}(6;-1)\\\\(4-x_M;1-y_M)=(2;-\dfrac{1}{3})[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}4-x_M=2\\1-y_M=-\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_M=4-2\\y_M=1+\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_M=2\\y_M=\dfrac{4}{3}\end{matrix}\right.[/tex]
D’où les coordonnées du point M sont (2 ; 4/3)
3) ABCD est un parallélogramme si [tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\\\\(x_B-x_A;y_B-y_A)=(x_C-x_D;y_C-y_D)\\\\(5+2;6-2)=(4-x_D;1-y_D)\\\\(7;4)=(4-x_D;1-y_D)\\\\\\\left\{\begin{matrix}7=4-x_D\\4=1-y_D \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=7-4\\y_D=1-4\end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_D=3\\y_D=-3 \end{matrix}\right.[/tex]
D’où les coordonnées du point D sont (3 ; -3)
[tex]4)\ I(\dfrac{x_C+x_D}{2};\dfrac{y_C+y_D}{2})\\\\\\I(\dfrac{4-3}{2};\dfrac{1-3}{2})\\\\\\\boxed{I(\dfrac{1}{2};-1)}[/tex]
5) I,M, et B sont alignés si les vecteurs vec(IM) et vec(IB) sont colinéaires.
[tex]\overrightarrow{IM}(2-\dfrac{1}{2};\dfrac{4}{3}+1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IM}(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{3})}\\\\\overrightarrow{IB}(5-\dfrac{1}{2};6+1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IB}(\dfrac{9}{2};7)}[/tex]
Or
[tex]\overrightarrow{IM}(\dfrac{3}{2};\dfrac{7}{3})\Longrightarrow3\overrightarrow{IM}:(3\times\dfrac{3}{2};3\times\dfrac{7}{3})\\\\\Longrightarrow3\overrightarrow{IM}:(\dfrac{9}{2};7)\\\\\Longrightarrow\boxed{3\overrightarrow{IM}=\overrightarrow{IB}}[/tex]
D’où les vecteurs vec(IM) et vec(IB) sont colinéaires.
Par conséquent, les points I,M, et B sont alignés.
[tex]6)\ J(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2})\\\\\\J(\dfrac{-2+5}{2};\dfrac{2+6}{2})\\\\\\\boxed{J(\dfrac{3}{2};4)}[/tex]
[tex]7)\ \overrightarrow{DJ}(\dfrac{3}{2}+3;4+3)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{DJ}(\dfrac{9}{2};7)}\\\\\overrightarrow{IB}(5-\dfrac{1}{2};6+1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{IB}(\dfrac{9}{2};7)}[/tex]
D’où [tex]\overrightarrow{DJ}=\overrightarrow{IB}[/tex]
Par conséquent, les droites (DJ) et (BI) sont parallèles
[tex]8)\ \overrightarrow{JN}=3\overrightarrow{JM}\\\\(x_N-\dfrac{3}{2};y_N-4)=3(2-\dfrac{3}{2};\dfrac{4}{3}-4)\\\\(x_N-\dfrac{3}{2};y_N-4)=3(\dfrac{1}{2};-\dfrac{8}{3})\\\\(x_N-\dfrac{3}{2};y_N-4)=(\dfrac{3}{2};-8)\\\\\\\left\{\begin{matrix}x_N-\dfrac{3}{2}=\dfrac{3}{2}\\y_N-4=-8 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_N=\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2}\\y_N=-8+4 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_N=3\\y_N=-4 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]9)\ \overrightarrow{BC}(4-5;1-6)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{BC}(-1;-5)}\\\\\overrightarrow{CN}(3-4;-4-1)\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{CN}(-1;-5)}[/tex]
D’où [tex]\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CN}[/tex]
On en déduit que les vecteurs vec(BC) et vec(CN) sont colinéaires.
Par conséquent, les points B, C et N sont alignés.
[tex]10)\ BC=\sqrt{(4-5)^2+(1-6)^2}\\\\=\sqrt{(-1)^2+(-5)^2}=\sqrt{1+25}=\sqrt{26}\\\\\Longrightarrow\boxed{BC=\sqrt{26}}\\\\BN=\sqrt{(3-5)^2+(-4-6)^2}\\\\=\sqrt{(-2)^2+(-10)^2}=\sqrt{4+100}=\sqrt{104}=\sqrt{4\times26}=2\sqrt{26}\\\\\Longrightarrow\boxed{BN=2\sqrt{26}}[/tex]
Par conséquent BN = 2BC.
