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Bonjour
Bluenoodles
Soit la fonction g définie sur ]-oo ; 0[ par [tex]g(x)=x+\ln(-x)+1[/tex]
Alors
[tex]g'(x)=x'+[\ln(-x)]'+1'\\\\g'(x)=1+\dfrac{(-x)'}{-x}+0\\\\g'(x)=1+\dfrac{-1}{-x}\\\\g'(x)=1+\dfrac{1}{x}\\\\\boxed{g'(x)=\dfrac{x+1}{x}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&0\\x+1&&-&0&+&\\x&&-&-&-&0\\g'(x)&&+&0&-&||\\g(x)&&\nearrow&0&\searrow&||\\\end{array}[/tex]
A partir de ce tableau de variation de g, nous pouvons en déduire son signe puisque la fonction g admet un maximum égal à 0 si x = -1.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&0\\&&&&&\\g(x)&&\nearrow&0&\searrow&||\\&&&&&\\g(x)&&-&0&-&||\\\end{array}[/tex]
Par conséquent, g(x) ≤ 0 sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
Soit la fonction f définie sur ]-oo ; 0[ par [tex]f(x)=x^2+2x\ln(-x)[/tex]
Alors
[tex]f'(x)=(x^2)'+[2x\ln(-x)]'\\\\f'(x)=2x+(2x)'\times\ln(-x)+2x\times[\ln(-x)]'\\\\f'(x)=2x+2\times\ln(-x)+2x\times(\dfrac{1}{x})\\\\f'(x)=2x+2\ln(-x)+2\\\\\boxed{f'(x)=2[x+\ln(-x)+1]}[/tex]
Nous en déduisons que [tex]\boxed{f'(x)=2g(x)}[/tex]
D'où, le signe de f'(x) est le même que celui de g(x),
soit f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
Soit la fonction g définie sur ]-oo ; 0[ par [tex]g(x)=x+\ln(-x)+1[/tex]
Alors
[tex]g'(x)=x'+[\ln(-x)]'+1'\\\\g'(x)=1+\dfrac{(-x)'}{-x}+0\\\\g'(x)=1+\dfrac{-1}{-x}\\\\g'(x)=1+\dfrac{1}{x}\\\\\boxed{g'(x)=\dfrac{x+1}{x}}\\\\\\\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&0\\x+1&&-&0&+&\\x&&-&-&-&0\\g'(x)&&+&0&-&||\\g(x)&&\nearrow&0&\searrow&||\\\end{array}[/tex]
A partir de ce tableau de variation de g, nous pouvons en déduire son signe puisque la fonction g admet un maximum égal à 0 si x = -1.
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&-\infty&&-1&&0\\&&&&&\\g(x)&&\nearrow&0&\searrow&||\\&&&&&\\g(x)&&-&0&-&||\\\end{array}[/tex]
Par conséquent, g(x) ≤ 0 sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
Soit la fonction f définie sur ]-oo ; 0[ par [tex]f(x)=x^2+2x\ln(-x)[/tex]
Alors
[tex]f'(x)=(x^2)'+[2x\ln(-x)]'\\\\f'(x)=2x+(2x)'\times\ln(-x)+2x\times[\ln(-x)]'\\\\f'(x)=2x+2\times\ln(-x)+2x\times(\dfrac{1}{x})\\\\f'(x)=2x+2\ln(-x)+2\\\\\boxed{f'(x)=2[x+\ln(-x)+1]}[/tex]
Nous en déduisons que [tex]\boxed{f'(x)=2g(x)}[/tex]
D'où, le signe de f'(x) est le même que celui de g(x),
soit f '(x) ≤ 0 sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 0[.
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