Bonjour,
Exercice 1
a)
1ère branche :
p(En) = pn
p(En barre) = 1 - pn
2nde branche :
p(En+1) sachant En = 0,24
p(En+1 barre) sachant En = 1 - 0,24 = 0,76
p(En+1) sachant En barre = 0,04
p(En+1 barre) sachat En barre = 1 - 0,04 = 0,96
b) pn+1 = p(En+1) sachant En + p(En+1) sachant En barre
= pn x 0,24 + (1 - pn) x 0,04
= (0,24 - 0,04)pn + 0,04
= 0,2pn + 0,04
c) un = pn - 0,05
⇒ un+1 = pn+1 - 0,05
= 0,2pn + 0,04 - 0,05
= 0,2pn - 0,01
= 0,2(pn - 0,05)
= 0,2un
⇒ (un) suite géo de raison r = 0,2 et de premier terme u1=p1 - 0,05 = -0,05
⇒ un = -0,05(0,2)ⁿ
d) lim(un) quand n→+∞ = 0 (r = 0,2 < 1)
qn = un + 0,05
⇒ lim(qn) = lim(un + 0,05) = 0,05
e) J donne le rang n à partir duquel pn se rapproche de sa limite à 10 ⁻K près.
2nde partie
a) On a bien un schéma de Bernouilli : Malade/pas malade
et une probabilité égale pour chaque salarié tiré au hasard.
La variable aléatoire X suit donc une loi binomiale de paramètres n = 220 et p = 0,05
b) p(X=10) = (Combinaisons 10 parmi 220) x (0,05)¹⁰ x (1 - 0,05)²¹⁰
= 0,12189
c) E(X) = n x p = 220 x 0,05 = 11
En moyenne, 11 salariés seront malades une semaine donnée.
Exercice 2
n pair ⇒ (-1)ⁿ = 1 ⇒ un = 1 + (n + 1)/(n² + 1)
n impair ⇒ (-1)ⁿ = -1 ⇒ un = 1 + (n + 1)/(n² - 1)
Pour tout n, n² - 1 ≤ n² + 1
⇒ pour tout n ≥ 2, 1/(n² - 1) ≥ 1/(n² + 1)
⇒ 1 + (n + 1)/(n² - 1) ≥ 1 + (n + 1)/(n² - 1)
lim [1 + (n + 1)/(n² - 1)] quand n→+∞
= lim (1 + 1/n)
= 1
idem pour lim [1 + (n + 1)/(n² + 1)]
⇒ théorème des gendarmes lim un = 1
