Bonjour Licema
1) a) Graphique en pièce jointe.
Le graphique montre que [tex]f_1\ \textgreater \ f_2\ \textgreater \ f_3\ \textgreater \ f_4[/tex]
Puisque ces fonctions sont continues, positives et définies sur le même intervalle [0;1], nous pouvons supposer les parties du plan situées sous les représentations graphiques de ces fonctions, limitées à l'axe des abscisses et les droites x = 0= et x = 1 possèdent des aires décroissantes.
D'où nous pouvons conjecturer que la suite (Un) est une suite décroissante.
b) Démontrons cette conjecture en démontrant que pour tout nombre naturel n non nul, nous avons [tex]u_ {n+1}\ \textless \ u_n[/tex], soit [tex]u_ {n+1}-u_n\ \textless \ 0[/tex]
[tex]u_ {n+1}-u_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{1+x}\ dx-\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}}{1+x}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\int\limits_0^1[\dfrac{x^{n+1}}{1+x}-\dfrac{x^{n}}{1+x}]\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}-x^n}{1+x}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\int\limits_0^1\dfrac{x^{n}(x-1)}{1+x}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\int\limits_0^1[\dfrac{x-1}{1+x}\times x^n]\ dx[/tex]
Calculons cette intégrale par la méthode d'intégration par parties.
[tex]u(x)=\dfrac{x-1}{1+x}\Longrightarrow u'(x)=\dfrac{1\times(1+x)-(x-1)\times1}{(1+x)^2}=\dfrac{2}{(1+x)^2}\\\\v'(x)=x^n\Longrightarrow v(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}[/tex]
D'où
[tex]u_ {n+1}-u_n=\left[\dfrac{x-1}{1+x}\times\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1-\int\limits_0^1\dfrac{2}{(1+x)^2}\times\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}\left[\dfrac{x^{n+1}(x-1)}{1+x}\right]\limits_0^1-\dfrac{2}{n+1}\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=\dfrac{1}{n+1}\left[0-0\right]-\dfrac{2}{n+1}\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ dx\\\\\\u_ {n+1}-u_n=-\dfrac{2}{n+1}\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ dx[/tex]
Or
[tex]\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ \textgreater \ 0\Longrightarrow\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ dx\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow-\dfrac{2}{n+1}\int\limits_0^1\dfrac{x^{n+1}}{(1+x)^2}\ dx\ \textless \ 0[/tex]
Par conséquent, [tex]u_ {n+1}-u_n\ \textless \ 0[/tex]
et la suite [tex](u_n)[/tex] est donc décroissante.
c) La suite [tex](u_n)[/tex] est décroissante et bornée inférieurement par 0 (par définition de [tex]u_n[/tex])
D'où cette suite [tex](u_n)[/tex] est convergente.
2) a) Selon le graphique, nous pouvons supposer que les parties du plan situées sous les représentations graphiques des fonctions f1, f2, f3 et f4 , limitées à l'axe des abscisses et les droites x = 0= et x = 1 possèdent des aires se rapprochant de 0.
Nous pouvons donc conjecturer que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(u_n)=0[/tex]
[tex]b)\ f_n(x)=\dfrac{x^n}{1+x}\\\\x\in[0;1]\Longrightarrow x^n\ \textgreater \ 0\ et\ 1+x\ \textgreater \ 0[/tex]
.D'où [tex]\dfrac{x^n}{1+x}\ \textgreater \ 0[/tex], soit [tex]\boxed{f_n(x)\ge0}[/tex]
[tex]x\in[0;1]\Longrightarrow x\ge0\\\\\Longrightarrow1+x\ge1\\\\\Longrightarrow\dfrac{1}{1+x}\le1\\\\\Longrightarrow\dfrac{x^n}{1+x}\le x^n\ \ \ (car\ \ x^n\ge0)\\\\\Longrightarrow\boxed{f_n(x)\le x^n}[/tex]
Par conséquent, [tex]\boxed{0\le f_n(x)\le x^n}[/tex]
c) En utilisant le théorème des comparaisons :
[tex]0\le f_n(x)\le x^n\Longrightarrow\int\limits_0^10\ dx\le\int\limits_0^1f_n(x)\ dx\le\int\limits_0^1x^n\ dx\\\\\\\Longrightarrow0\le u_n\le\left[\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\right]\limits_0^1\\\\\\\Longrightarrow0\le u_n\le\left[\dfrac{1}{n+1}-0\right]\\\\\\\Longrightarrow\boxed{0\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}}[/tex]
D'où
[tex]0\le u_n\le\dfrac{1}{n+1}\Longrightarrow\lim\limits_{n\to+\infty}0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longrightarrow0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le0[/tex]
Par conséquent,
[tex]\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0}[/tex]
