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résolu

Le professeur Mathétic propose un exercice a ses élèves :
" que peut on dire de la différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs ? "
Après quelque minutes de recherches , Djibril annonce fièrement "on peut dire que la différence des carrés de deux nombres impairs consécutifs est un multiple de 8"
Sabrina intrigué lui demande pourquoi , Djibril répond " car par exemple , 9²-7²= 32 ou 7²-5²=24
1) que pensez de l démarche de Djibril ?
2) Montrez que, pour tous nombres impairs consécutifs , la différences de leurs carrés est bien un multiple de 8.

Répondre :

Bonsoir ;

1) A partir de quelques exemples , Djibril a annocé un résultat général , c'est une conjecture qui peut être mise à défaut , comme beaucoup de conjectures dans l'histoire des mathématiques , comme elle peut être par la suite être démontrée comme la conjecture du grand théorème de Fermat qui est devenue le théorème de Wiles-Fermat : Fermat avait conjecturé que pour n un nombre entier naturel supérieur ou égal à 3 , le problème a^n + b^n = c^n n'avait pas de solutions non triviales .

2) Soit k un nombre entier naturel , donc les nombres (2k + 1) et (2k + 3) sont deux nombres entiers naturels impairs consécutifs .

On a :
(2k + 3)² - (2k + 1)²
= (2k + 3 +2k + 1)(2k + 3 - 2k - 1) :identité remarquable .
= (4k + 4)(2)
= 2(4k + 4)
= 8(k + 1) , donc la différence des carrés de deux nombres entiers naturel impairs consécutifs est un multiple de 8 .

Conclusion : la conjecture de Djibril est vérifiée .
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