Bonjour,
à partir de l'équation réduite d'une ellipse : x²/a²+ y²/b² = 1,
les coordonnées des foyers F et F' sont dans le repère (O;I;J) :
F(c;0 et F'(-c;0) avec c = √(a² - b²)
Donc ici, c = √(25 - 9) = 4
⇒ F(4;0) et F'(-4;0)
Les directrices de (E) dont les droites (D) et (D') d'équation :
(D) : y = x + a²/c = x + 25/4
(D') : y = x - a²/c = x - 25/4
2) M(x;y) avec x²/25 + y²/4 = 1
x = rcos(θ) y = rsin(θ)
De même : M'(x';y') avec x' = r'cos(θ + π/2) et y' = r'sin(θ + π/2)
soit x' = -r'sin(θ) et y' = r'cos(θ)
3)
M ∈ (E) ⇒ r²cos²(θ)/25 + r²sin²(θ)/4 = 1
⇔ 4r²cos²(θ) + 25r²sin²(θ) = 100
⇒ 1/r² = (4cos²(θ) + 25sin²(θ))/100
M' ∈ (E) ⇒ r'²sin²(θ)/25 + r'²cos²(θ) = 1
⇔ 4r'²sin²() + 25r'²cos²() = 100
⇒ 1/r'² = (4sin²(θ) + 25cos²(θ))/100
Et donc :
1/r² + 1/r'² = [4cos²(θ) + 25sin²(θ) + 4sin²(θ) + 25cos²(θ)]/100
= (4 + 25)/100
= 29/100 donc constant
