bonjour,
Ex 2 - Partie A
1) f(1) = -4
et f'(1) = 0 (tangente horizontale)
2) D'après la représentation graphique de f, on voit :
Sur ]-2;1], f est décroissante donc f' doit être négative
Sur [1;+∞[, f est croissante donc f' doit être positive
et f'(1) = 0
Donc la courbe représentant f' est la courbe C₁.
Partie B
f(x) = (x² - 6x - 7)/(x + 2) sur ]-2;+∞[
f est un quotient de fonction polynômes et le dénominateur (x + 2) ne s'annule pas sur son ensemble de définition.
Donc f est dérivable sur ]-2;+∞[
f'(x) = [(2x - 6)(x + 2) - (x² - 6x - 7)]/(x + 2)²
= (2x² + 4x - 6x - 12 - x² + 6x + 7)/(x + 2)²
= (x² + 4x - 5)/(x + 2)²
2) Le signe de f'(x) est le signe de x² + 4x - 5
Δ = 4² - 4x(-5) = 36 = 6²
Donc 2 racines :
x₁ = (-4 - 6)/2 ∉ Df
x₂ = (-4 + 6)/2 = 1
x -2 1 +∞
f'(x) || - 0 +
f(x) ||-∞ décrois. -4 croiss. +∞
lim f(x) quand x→+∞ = lim(x²/x) = +∞
lim f(x) quand x→ -2⁺ = lim 9/(x + 2) = +∞
