Bonjour Keirah ,
a) Montrons que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 60]
[tex]f(x)=0.1xe^{0.1x}-e^{0.1x}-20\\\\\\f'(x)=(0.1xe^{0.1x})'-(e^{0.1x})'-20'\\\\f'(x)=[(0.1x)'e^{0.1x}+0.1x(e^{0.1x})']-(0.1x)'e^{0.1x}-0\\\\f'(x)=[0.1e^{0.1x}+0.1x\times0.1e^{0.1x}]-0.1e^{0.1x}\\\\f'(x)=0.1e^{0.1x}+0.1x\times0.1e^{0.1x}-0.1e^{0.1x}\\\\f'(x)=0.1x\times0.1e^{0.1x}\\\\\boxed{f'(x)=0.01xe^{0.1x}}[/tex]
Or
[tex]0.01\ \textgreater \ 0\\\\x\ \textgreater \ 0\ car\ x\in[5;60]\\\\e^{0.1x}\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où f '(x) > 0 car f '(x) est le produit de trois nombres strictement positifs.
Nous en déduisons donc que la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 60].
De plus
[tex]f(5)=0.5e^{0.5}-e^{0.5}-20\approx-21\ \textless \ 0\\\\f(60)=6e^{6}-e^{6}-20\approx1997\ \textgreater \ 0[/tex]
D'où 0 ∈ [f(5) ; f(60)]
Utilisons le théorème des valeurs intermédiaires.
Puisque la fonction f est continue et strictement croissante sur l'intervalle [5 ; 60] et que 0 ∈ [f(5) ; f(60)], alors il existe une seule valeur [tex]\alpha\in[5;60][/tex] telle que [tex]f(\alpha)=0[/tex]
Par conséquent, f(x)=0 possède une unique solution α dans [5;60].
b) Par un tableur, nous obtenons : f(25) ≈ -1,7 < 0 et f(26) ≈ 1,5 > 0.
Par conséquent [tex]\boxed{25\ \textless \ \alpha\ \textless \ 26}[/tex]
