Bonjour,
f(x) est de la forme ax²+bx+c avec a < 0 , sa courbe représentative est une parabole de la forme ∩ avec un extremum en M (-b/2a ; f(-b/2a) ) M(-1 ; 32)
La fonction est croissante sur ]-∞ : -1[ et décroissante sur ]-1 ; +∞[
f(x) = 0 admet deux racines x=-5 et x'=3
f(x) est du signe de a en dehors des racines et du signe de -a entre les racines
f(x) < 0 quand x ∈ ]-∞ ;-5[ ∪ ]3 ;+∞[ , f(x) ≥0 quand x ∈ [-5 ; 3]
g(x) =|f(x)|
x : -∞ -5 3 +∞
f(x) - 0 + 0 -
|f(x)| -f(x) f(x) -f(x)
g(x) = - (-2x²-4x+30) = 2x²+4x-30 quand x ∈ ]-∞; -5[ ∪ ]3 ;+∞[
g(x) = f(x) = -2x²-4x+30 quand x ∈ [-5 ; 3]
g(x) est toujours positive, nulle en x=-5 ou x=3
sur l'intervalle ]-∞ ; -5[ g(x) = 2x²+4x+30 a > 0, la courbe représentative est une parabole en forme de ∪ avec un minimum en -b/2a soit en -1 (en dehors de l'intervalle)
donc g(x) est décroissante sur ]-∞ ; -5[ et croissante sur ]3 ; +∞[
sur l'intervalle [-5 ; 3] g(x) =f(x) donc g(x) est croissante de [-5 ; -1[ et décroissante de ]-1 ; 3]
h(x) : si x ≥0 alors |x| = x et h(x) = -2x²-4x+30, h(x)=0 n'admet qu'une solution x=3
si x <0, alors |x| =-x et h(x) = -2 (-x)² -4(-x) +30 =-2x²+4x+30 h(x) = 0 n'admet qu'une solution x=-3
Tableau de signe :
x : ]-∞ -3 0 3 +∞[
|x| -x 0 +x
h(x) : -2x²+4x+30 -2x²-4x+30
h(x) : - 0 + 30 - 0 +
sur ]-∞ ; 0[ a <0 donc représentation graphique ∩ avec un sommet M en 1
donc h(x) est croissante
sur ]0 ; +∞[ h(x) a le même comportement que f(x) elle est donc décroissante
