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AMENDYNEVCTVIZ
résolu

Bonjour, pouvez vous m'aider c'est un dm de première S. Merci d'avance.

Bonjour Pouvez Vous Maider Cest Un Dm De Première S Merci Davance class=

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Bonjour  AmendyneVct 

1) L'aire d'un demi-cercle de diamètre d est donnée par la formule : [tex]\dfrac{1}{2}\times\pi\times(\dfrac{d}{2})^2=\dfrac{\pi\times d^2}{8}[/tex]

L'aire du demi-cercle de diamètre n est égale à  [tex]\dfrac{\pi\times n^2}{8}[/tex]

L'aire du demi-cercle de diamètre (n+1) est égale à  [tex]\dfrac{\pi\times (n+1)^2}{8}[/tex]

D'où

[tex]L_n=\dfrac{\pi\times(n+1)^2}{8}-\dfrac{\pi\times n^2}{8}\\\\\\L_n=\dfrac{\pi\times(n^2+2n+1)}{8}-\dfrac{\pi\times n^2}{8}\\\\\\L_n=\dfrac{\pi\times(n^2+2n+1)-\pi\times n^2}{8}\\\\\\L_n=\dfrac{\pi\times(n^2+2n+1-n^2)}{8}\\\\\\L_n=\dfrac{\pi\times(2n+1)}{8}\\\\\\L_n=\dfrac{\pi}{8}\times2n+\dfrac{\pi}{8}\times1\\\\\\L_n=\dfrac{\pi}{4}\times n+\dfrac{\pi}{8}\\\\\\\boxed{L_n=\dfrac{\pi}{8}+n\times\dfrac{\pi}{4}}[/tex]

2) Calculons L1.

[tex]L_1=\dfrac{\pi}{8}+1\times\dfrac{\pi}{4}\\\\L_1=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{\pi}{4}\\\\L_1=\dfrac{\pi}{8}+\dfrac{2\pi}{8}\\\\\boxed{L_1=\dfrac{3\pi}{8}}[/tex]

Montrons que la suite (Ln) est une suite arithmétique.

[tex]L_{n+1}-L_n=[\dfrac{\pi}{8}+(n+1)\times\dfrac{\pi}{4}]-[\dfrac{\pi}{8}+n\times\dfrac{\pi}{4}]\\\\\\L_{n+1}-L_n=\dfrac{\pi}{8}+(n+1)\times\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{8}-n\times\dfrac{\pi}{4}\\\\\\L_{n+1}-L_n=[\dfrac{\pi}{8}-\dfrac{\pi}{8}]+[(n+1)\times\dfrac{\pi}{4}-n\times\dfrac{\pi}{4}]\\\\\\L_{n+1}-L_n=n\times\dfrac{\pi}{4}+1\times\dfrac{\pi}{4}-n\times\dfrac{\pi}{4}\\\\\\\boxed{L_{n+1}-L_n=\dfrac{\pi}{4}}[/tex]

On en déduit que la suite (Ln) est une suite arithmétique de raison [tex]r=\dfrac{\pi}{4}[/tex] et dont le premier terme est [tex]L_1=\dfrac{3\pi}{8}[/tex]

3) Sn est la somme des n premiers termes de la suite (Ln).

Donc,

[tex]S_n=n\times\dfrac{L_1+L_n}{2}\\\\\\S_n=n\times\dfrac{\dfrac{3\pi}{8}+\dfrac{\pi}{8}+n\times\dfrac{\pi}{4}}{2}\\\\\\S_n=n\times\dfrac{\dfrac{4\pi}{8}+n\times\dfrac{\pi}{4}}{2}\\\\\\S_n=n\times\dfrac{\dfrac{2\pi}{4}+n\times\dfrac{\pi}{4}}{2}\\\\\\S_n=n\times\dfrac{\dfrac{\pi}{4}(2+n)}{2}\\\\\\S_n=n\times\dfrac{\pi(2+n)}{8}\\\\\\S_n=\dfrac{n\pi(2+n)}{8}\\\\\\\boxed{S_n=\dfrac{\pi}{8}\times n(n+2)}[/tex]
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