Bonjour ;
1) En posant x = 1/y on a :
[tex] \lim_{x \to 0+} \frac{ln(x)}{x} = \lim_{y \to +\infty} \frac{ln( \frac{1}{y}) }{ \frac{1}{y} } = \lim_{y \to +\infty} \frac{-ln(y) }{ \frac{1}{y} } \\ \\ = \lim_{y \to +\infty} -yln(y) = - \infty .[/tex]
donc [tex] \lim_{x \to 0+} \frac{ln(x)}{x} -2 = - \infty[/tex] .
2) On a : [tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0 [/tex]
donc : [tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} -2 = -2[/tex] .
Si on vous demande de démontrer que [tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} = 0 [/tex] alors c'est un autre exercice , car on doit soit admettre que [tex] \lim_{ x\to +\infty} \frac{x}{ e^{x} } = 0 [/tex] , soit suivre une autre démarche qui n'est pas évidente .
3) On a : [tex] \lim_{x \to 0+} \frac{ln(x)}{x} - 2 = - \infty[/tex]
donc Cf (la courbe de f) admet une asymptote verticale d'équation : x = 0 .
On a aussi : [tex] \lim_{x \to +\infty} \frac{ln(x)}{x} -2 = -2[/tex] donc Cf admet une asymptote d'équation : y = - 2 .
