Bonjour
Yacine931
Notons a la longueur des arêtes du cube ABCDEFGH.
1) a) Le triangle EAU est rectangle en A car deux arêtes consécutives d'un cube sont orthogonales.
[tex]EA=a\\\\AU=\dfrac{2}{3}AB=\dfrac{2}{3}a[/tex]
Par Pythagore dans ce triangle rectangle EAU,
[tex]EU^2=EA^2+AU^2\\\\EU^2=a^2+(\dfrac{2}{3}a)^2\\\\EU^2=a^2+\dfrac{4a^2}{9}\\\\EU^2=\dfrac{13a^2}{9}\\\\EU=\sqrt{\dfrac{13a^2}{9}}\\\\\boxed{EU=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}}[/tex]
Le triangle EHV est rectangle en H car deux arêtes consécutives d'un cube sont orthogonales.
[tex]EH=a\\\\HV=\dfrac{2}{3}HB=\dfrac{2}{3}a[/tex]
Par Pythagore dans ce triangle rectangle EHV,
[tex]EV^2=EH^2+HV^2\\\\EV^2=a^2+(\dfrac{2}{3}a)^2\\\\EV^2=a^2+\dfrac{4a^2}{9}\\\\EV^2=\dfrac{13a^2}{9}\\\\EV=\sqrt{\dfrac{13a^2}{9}}\\\\\boxed{EV=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}}[/tex]
D'où [tex]\boxed{EU=EV}(=\dfrac{a\sqrt{13}}{3}})[/tex]
Par conséquent, le triangle EUV est isocèle.
Par une démonstration analogue, nous pouvons démontrer que [tex]\boxed{EU=EV}(=\dfrac{a\sqrt{10}}{3}})[/tex]
Par conséquent, le triangle FUV est isocèle.
b) Dans le triangle EUV isocèle en E, W est le milieu de [UV].
D'où la droite (EW) est une hauteur du triangle EUV issue du sommet E.
On en déduit que les droites (EW) et (UV) sont orthogonales.
De même, dans le triangle FUV isocèle en F, W est le milieu de [UV].
D'où la droite (FW) est une hauteur du triangle FUV issue du sommet F.
On en déduit que les droites (FW) et (UV) sont orthogonales.
Par conséquent, la droite (UV) est orthogonale à deux droites (EW) et (FW) sécantes en W et incluses au plan (EFW)
Donc la droite (UV) est orthogonale au plan (EFW).
2) Voir pièce jointe.
a) Dans le plan (EFG), tracer la droite (EV) qui coupera la droite (FG) en un point P.
Dans le plan (EFB), tracer la droite (EU) qui coupera la droite (FB) en un point Q.
Dans le plan (BFG), tracer la droite (PQ) qui coupera la droite (CG) en un point X.
Ce point X est le point d'intersection du plan (EUV) et de la droite (CG).
b) Dans le plan (BFG), tracer la droite (PQ) qui coupera la droite (BC) en un point Y.
Ce point Y est le point d'intersection du plan (EUV) et de la droite (BC).
c) La section du cube ABCDEFGH par le plan (EUV) est le pentagone EVXYU.
