Bonjour,
P : y = x²
Dm : 8mx - 4y + 1 = 0 avec m ∈ R, soit y = (8mx + 1)/4
1) x² = (8mx + 1)/4
⇔ 4x² - 8mx - 1 = 0
Δ = 64m² + 16 = 16(4m² + 1) = 4²(4m² + 1)
⇒ Δ > 0
⇒ 2 racines
⇒ P et Dm se coupent en 2 points distincts.
2)
Abscisse de Am : xAm = (8m - √(Δ))/8
= m - √(4m² + 1)/2
Abscisse de Bm : yBm = m + √(4m² + 1)/2
Coefficient directeur de la tangente à P en Am = 2xAm
Coefficient directeur de la tangente à P en Bm = 2xBm
2xAm.2xBm = 4[(m - √(4m² + 1)/2)(m + √(4m² + 1)/2)
= 4[m² - (4m² + 1)/4]
= 4(m² - m² - 1/4)
= -1
⇒ Les tangentes aux points Am et Bm à P sont perpendiculaires.
7(??)a)
T(Am) : y = 2(xAm)(x - (xAm)) + (xAm)²
T(Bm) : y = 2(xBm)(x - (xBm)) + (xBm)²
Soit xIm, l'abscisse du point d'intersection de T(Am) et T(Bm) et yIm son ordonnée.
Im appartient à T(Am) ⇒ yIm = 2(xAm)xIm - (xAm)²
Im appartient à T(Bm) ⇒ yIm = 2(xBm)xIm - (xBm)²
⇒ 2(xAm)xIm - (xAm)² = 2(xBm)xIm - (xBm)²
⇔ xIm[2(xAm - xBm)] = (xAm)² - (xBm)²
⇔ 2xIm = xAm + xBm
⇔ xIm = (xAm + xBm)/2
⇔ xIm = m
Et donc :
yIm = 2m(xAm) - (xAm)²
= 2m[m - √(4m² + 1)/2] - [m - √(4m² + 1)/2]²
= [m - √(4m² + 1)/2][2m - (m - √(4m² + 1)/2)]
= [m - √(4m² + 1)/2][m + √(4m² + 1)/2]
= m² - (4m² + 1)/4
= - 1/4
Soit Im(m;-1/4)
Im décrit la parallèle à l'axe des abscisses d'équation y = -1/4
