Bonjour ;
a) On a pour tout i ∈ N : U(i+1) = 1/2 (U(i) - i ) et U(0) = 1 , donc :
Pour i = 0 , U(1) = 1/2 (U(0) - 0) - 1 = 1/2 (1 - 0) - 1 = 1/2 - 1 = - 1/2 .
Pour i = 1 , U(2) = 1/2 (U(1) - 1) - 1 = 1/2 (-1/2 - 1) - 1 = 1/2 (-3/2) - 1
= -3/4 - 1 = - 7/4 .
Pour i = 2 , U(3) = 1/2 (U(2) - 2) - 1 = 1/2 (-7/4 - 2) - 1 = 1/2 (-15/4) - 1
= - 15/8 - 1 = -23/8 et non -15/4 , donc la proposition est fausse .
b) D'après la question (a) , l'algorithme affiche U(3) , donc la proposition est vraie .
c) V(n+1) = U(n+1) + (n+1) = 1/2 (U(n) - n) - 1 + n +1
= 1/2 (U(n) - n) + n = 1/2 (U(n) - n + 2n) = 1/2 (U(n) + n) = 1/2 V(n) ,
donc la suite V est une suite géométrique de raison 1/2 et de premier terme V(0) = U(0) + 0 = 1 , donc la proposition est vraie .
d) Pour tout n de N , on a : V(n) = (1/2)^n = 1/(2^n) ,
donc : U(n) + n = 1/(2^n) , donc U(n) = 1/(2^n) - n et non 1/(2^n) + n ,
donc la proposition est fausse .
