Bonjour ;
J'adopte la notation des bipoints pour les vecteurs .
Tout d'abord on a :
A' est le milieu de [BC] , donc on a : BA' = A'C = 1/2 BC .
B' est le milieu de [AC] , donc on a : AB' = B'C = 1/2 AC .
C' est le milieu de [AB] , donc on a : AC' = C'B = 1/2 AB .
1)
A) GA' = GB + BA' = GB + 1/2 BC = GB + 1/2 (BG + GC)
= GB + 1/2 (-GB + GC) = 1/2 (GB + GC) = 1/2 (- GA) = - 1/2 GA ,
donc - 2 GA' = GA donc GA + 2 GA' = 0 .
On a : GA = - 2 GA' , donc GA et GA' sont colinéaires ,
donc (GA) // (GA') .
Et comme (GA) et (GA') ont un point commun : G , donc les (GA) et (GA') sont deux droites confondues , donc les points G , A et A' sont une même droite , donc ils sont alignés .
B) En adoptant la démarche suivie pour démontrer que les points G , A et A' sont alignés , et en remplaçant A par B et A' par B' , on démontre que les points G , B et B' sont alignés .
C) On a : (AA') et (BB') deux médianes du triangle ABC qui se coupent au point G, donc G est son centre de gravité .
