Bonjour
Yanndolon7
[tex]1)\ a) C(x)=2x^2+3200\Longrightarrow C(40)=2\times40^2+3200=6400[/tex]
Par conséquent, lorsque l’entreprise produit 40 hectolitres par jour, le coût total de production s'élève à 6400 €.
b) Calculons C(0)
[tex]C(0)=2\times0^2+3200=3200[/tex]
Par conséquent, les coûts fixes s'élèvent à 3200 €.
2) a) 1 hl est vendu 808 € ==> x hl sont vendus 808x €
D'où la recette quotidienne est [tex]\boxed{R(x)=808x}[/tex]
b) Bénéfice = Recette - Coût de production.
[tex]B(x)=R(x)-C(x)\\\\B(x)=808x-(2x^2+3200)\\\\B(x)=808x-2x^2-3200\\\\ \boxed{B(x)=-2x^2+808x-3200}[/tex]
[tex]2)\ c)\ -2(x-202)^2+78408=-2(x^2-2\times202x+202^2)+78408\\\\-2(x-202)^2+78408=-2(x^2-404x+40804)+78408\\\\-2(x-202)^2+78408=-2x^2+808x-81608+78408\\\\-2(x-202)^2+78408=-2x^2+808x-3200\\\\\boxed{-2(x-202)^2+78408=B(x)}[/tex]
[tex]2)\ d)\ B(x)=-2(x-202)^2+78408\\\\\Longrightarrow B(202)=-2(202-202)^2+78408\\\\\Longrightarrow B(202)=-2\times0^2+78408\\\\\Longrightarrow\boxed{B(202)=78408}\\\\B(x)=-2x^2+808x-3200\Longrightarrow B(0)=0+0-3200\\\\\Longrightarrow\boxed{B(0)=3200}\\\\B(x)=-2x^2+808x-3200\\\\\Longrightarrow B(420)=-2\times420^2+808\times420-3200\\\\\Longrightarrow\boxed{B(420)=-16640}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccc|} x&0&&202&&420\\B(x)&-3200&\nearrow&78408&\searrow&-16640\\ \end{array}[/tex]
2) e) Le bénéfice est maximal si x = 202, soit si la production est de 202 hectolitres.
2) f) Courbe en pièce jointe.
2) g) Recherchons d'abord les valeurs de x telles que le bénéfice est nul.
[tex]B(x)=0\Longleftrightarrow-2(x-202)^2+78408=0\\\\\Longleftrightarrow2[-(x-202)^2+39204]=0\\\\\Longleftrightarrow-(x-202)^2+39204=0\\\\\Longleftrightarrow39204-(x-202)^2=0\\\\\Longleftrightarrow198^2-(x-202)^2=0\\\\\Longleftrightarrow[198-(x-202)][198+(x-202)]=0\\\\\Longleftrightarrow(198-x+202)(198+x-202)=0\\\\\Longleftrightarrow(-x+400)(x-4)=0\\\\\Longleftrightarrow-x+400=0\ \ ou\ \ x-4=0\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x=400\ \ ou\ \ x=4}[/tex]
Graphiquement, nous voyons que B(x) ≥ 0 si x ∈ [4 ; 400].
Par conséquent, le profit sera positif si la production se situe entre
4 et 400 hectolitres.
