Bonjour
Fayadix
[tex]f(x)=2-\dfrac{2(1-x)}{x^2+1}[/tex]
[tex]1)\ a)\ f'(x)=2'-\left[\dfrac{2(1-x)}{x^2+1}\right]'\\\\f'(x)=0-2\left[\dfrac{1-x}{x^2+1}\right]'\\\\f'(x)=-2\times\dfrac{(1-x)'\times(x^2+1)-(1-x)\times(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=-2\times\dfrac{(-1)\times(x^2+1)-(1-x)\times(2x)}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=-2\times\dfrac{-x^2-1-2x+2x^2}{(x^2+1)^2}\\\\f'(x)=-2\times\dfrac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{-2(x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2}}[/tex]
b) Signe de f '(x) et variation de f
Racines du numérateur :
[tex]x^2-2x-1=0\\\\\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8\\\\x_1=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2-2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1-\sqrt{2})}{2}=1-\sqrt{2}\approx-0,4\\\\x_2=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=\dfrac{2+2\sqrt{2}}{2}=\dfrac{2(1+\sqrt{2})}{2}=1+\sqrt{2}\approx2,4[/tex]
Dénominateur : [tex](x^2+1)^2\ \textgreater \ 0[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-0,4&&2,4&&+\infty\\-2&&-&-&-&-&-&\\x^2-2x-1&&+&0&-&0&+&\\(x^2+1)^2&&+&+&+&+&+&\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&-0,4&\nearrow&2,4&\searrow&\\\end{array}[/tex]
2) Une équation de la tangente T à Cf au point A d’abscisse 1 est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)}[/tex]
Or
[tex]f(x)=2-\dfrac{2(1-x)}{x^2+1}\\\\\Longrightarrow f(1)=2-\dfrac{2(1-1)}{1^2+1}=2-0=2\\\Longrightarrow\boxed{f(1)=2}\\\\\\f'(x)=\dfrac{-2(x^2-2x-1)}{(x^2+1)^2}\\\\\Longrightarrow f'(1)=\dfrac{-2(1^2-2\times1-1)}{(1^2+1)^2}=\dfrac{-2\times(-2)}{2^2}=\dfrac{4}{4}=1\\\\\Longrightarrow\boxed{f'(1)=1}[/tex]
D'où l'équation de la tangente (T) est : [tex]y=1(x-1)+2[/tex]
[tex]\boxed{(T):y=x+1}[/tex]
3) a) La tangente en B à Cf est parallèle à la droite Δ d’équation y = -x
Elle admet donc le même coefficient directeur de celui de Δ, soit -1.
Si les coordonnées de B sont (a ; f(a)), alors [tex]\boxed{f'(a)=-1}[/tex]
D'où
[tex]\dfrac{-2(a^2-2a-1)}{(a^2+1)^2}=-1\\\\\dfrac{-2(a^2-2a-1)}{(a^2+1)^2}+1=0\\\\\dfrac{-2(a^2-2a-1)}{(a^2+1)^2}+\dfrac{(a^2+1)^2}{(a^2+1)^2}=0\\\\\dfrac{-2(a^2-2a-1)+(a^2+1)^2}{(a^2+1)^2}=0\\\\-2(a^2-2a-1)+(a^2+1)^2=0\\\\-2a^2+4a+2+a^4+2a^2+1=0\\\\\boxed{a^4+4a+3=0}[/tex]
Par conséquent, nous trouverons la valeur de a en résolvant l'équation [tex]\boxed{x^4+4x+3=0}[/tex]
[tex]b)\ (x+1)^2(x^2-2x+3)=(x^2+2x+1)(x^2-2x+3)\\\\(x+1)^2(x^2-2x+3)=x^4-2x^3+3x^2+2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3\\\\\boxed{(x+1)^2(x^2-2x+3)=x^4+4x+3}[/tex]
[tex]c)\ x^4+4x+3}=0\\\\(x+1)^2(x^2-2x+3)=0\\\\(x+1)^2=0\ \ ou\ \ x^2-2x+3=0\\\\x+1=0\ \ ou\ \ x^2-2x+3=0\\\\x+1=0\Longrightarrow\boxed{x=-1}\\\\x^2-2x+3=0\\\Delta=(-2)^2-4\times1\times3=4-12=-8\ \textless \ 0\\\Longrightarrow\boxed{x^2-2x+3=0\ n'admet\ pas\ de\ solution}[/tex]
D'où, la valeur de a solution de l'équation [tex]x^4+4x+3=0[/tex] est [tex]\boxed{a=-1}[/tex]
Par conséquent, le point B existe et ses coordonnées sont (-1 ; f(-1)), soit (-1 ; 0)
4) Courbe en pièce jointe.
