Bonjour
ZekiaChin
Exercice 1
1) Loi de probabilité de X.
Les valeurs possibles pour X sont 10, -20 et 20.
Parmi les 10 mots, 5 d'entre eux contiennent 1 voyelle, 4 mots contiennent 2 voyelles et 1 mot contient 3 voyelles.
Par conséquent,
[tex]P(X=10)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}\\\\P(X=-20)=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5}\\\\P(X=20)=\dfrac{1}{10}[/tex]
D'où, le tableau suivant :
[tex]\begin{array}{|c|c|c|c|} x_i&-20&10&20\\&&&\\P(X=x_i)&\dfrac{2}{5}&\dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{10}\\ \end{array}[/tex]
2) Espérance mathématique
[tex]E(X)=(-20)\times\dfrac{2}{5}+10\times\dfrac{1}{2}+20\times\dfrac{1}{10}\\\\E(X)=-8+5+2\\\\\boxed{E(X)=-1}[/tex]
3) Ecart-type
Calculons d'abord la variance de X.
[tex]V(X)=(-20-(-1))^2\times\dfrac{2}{5}+(10-(-1))^2\times\dfrac{1}{2}+(20-(-1))^2\times\dfrac{1}{10}\\\\V(X)=(-19)^2\times\dfrac{2}{5}+11^2\times\dfrac{1}{2}+21^2\times\dfrac{1}{10}\\\\\boxed{V(X)=249}[/tex]
Ecart-type : [tex]\boxed{\sigma(X)=\sqrt{249}\approx15,6}[/tex]
4) Pour que le jeu soit équitable, il faut avoir : E(X) = 0.
Soit x la perte pour un mot contenant deux voyelles.
Alors
[tex]E(X)=0\Longleftrightarrow x\times\dfrac{2}{5}+10\times\dfrac{1}{2}+20\times\dfrac{1}{10}=0\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{2}{5}x+5+2=0\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{2}{5}x=-7\\\\\Longleftrightarrow x=-7\times\dfrac{5}{2}\\\\\Longleftrightarrow\boxed{x=\dfrac{-35}{2}=-17,5}[/tex]
Par conséquent,
la perte pour un mot contenant deux voyelles serait de 17,5 points.Exercice 21)
f(-4) = 0 car le point de coordonnées (-4 ; 0) appartient à Cf
f(3) = -1 car le point de coordonnées (3 ; -1) appartient à Cf
f(0) = -3 car le point de coordonnées (0 ; -3) appartient à Cf
f '(-4) = -1/2 car la tangente passe par les points de coordonnées (-4;0) et (0;-2).
Or f '(-4) est le coefficient directeur de cette tangente qui est égal à [tex]\dfrac{-2-0}{0+4}=\dfrac{-2}{4}=\dfrac{-1}{2}[/tex]
f '(3) = 4/3 car la tangente passe par les points de coordonnées (3;-1) et (0;-5).
Or f '(3) est le coefficient directeur de cette tangente qui est égal à [tex]\dfrac{-5+1}{0-3}=\dfrac{-4}{-3}=\dfrac{4}{3}[/tex]
f '(0) = 0 car la tangente est parallèle à l'axe des abscisses et son coefficient directeur est donc égal à 0
f '(6) = 2/3 car la tangente passe par les points de coordonnées (6;4) et (3;2).
Or f '(6) est le coefficient directeur de cette tangente qui est égal à [tex]\dfrac{2-4}{3-6}=\dfrac{-2}{-3}=\dfrac{2}{3}[/tex]
2)
Equations des tangentes.Au point d'abscisse -4 :
Coefficient directeur = -1/2
Ordonnée à l'origine : -2
D'où l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse -4 : [tex]\boxed{y=-\dfrac{1}{2}x-2}[/tex]
Au point d'abscisse 0.
Coefficient directeur = 0
Ordonnée à l'origine : -3
D'où l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 0 : [tex]\boxed{y=-3}[/tex]
Au point d'abscisse 3 :
Coefficient directeur = 4/3
Ordonnée à l'origine : -5
D'où l'équation de la tangente à Cf au point d'abscisse 3 : [tex]\boxed{y=\dfrac{4}{3}x-5}[/tex]
Exercice 3[tex]f(x)=\dfrac{2x-5}{3x+7}[/tex]
1)
Dérivée[tex]f'(x)=\dfrac{(2x-5)'\times(3x+7)-(2x-5)\times(3x+7)'}{(3x+7)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{2\times(3x+7)-(2x-5)\times3}{(3x+7)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{6x+14-6x+15}{(3x+7)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{29}{(3x+7)^2}}[/tex]
2)
Equation de la tangente au point d'abscisse 4.Si f est dérivable en a, une équation de la
tangente à la courbe représentative de f en son point d’abscisse a est donnée
par : [tex]\boxed{y=f'(a)(x-a)+f(a)}[/tex]
Au point d'abscisse 4, nous avons :
[tex]a=4\\\\f(a)=f(4)=\dfrac{2\times4-5}{3\times4+7}=\dfrac{8-5}{12+7}=\dfrac{3}{19}\\\\f'(a)=f'(4)=\dfrac{29}{(3\times4+7)^2}=\dfrac{29}{19^2}=\dfrac{29}{361}[/tex]
D'où l'équation de la tangente est :
[tex]y=\dfrac{29}{361}(x-4)+\dfrac{3}{19}\\\\y=\dfrac{29}{361}x-\dfrac{116}{361}+\dfrac{3}{19}\\\\\boxed{y=\dfrac{29}{361}x-\dfrac{59}{361}}[/tex]
3) La courbe Cf n'admet pas de tangente parallèle à l'axe des abscisses car [tex]\boxed{f'(x)\neq0}[/tex] quelle que soit la valeur de x de l'ensemble de définition de f.
