Bonjour,
1) f est une fonction de densité de probabilité sur I = [-0,5;0,5] si :
. f est continue et positive sur I
. Somme de -0,5 à 0,5 de f(x)dx = 1
f(x) = x + 1 fonction affine donc continue sur I
Pour tout x ≥ -0,5, x + 1 ≥ 0,5 ⇒ f est positive sur I
Primitive de f : F(x) = x²/2 + x
Donc :
Somme de -0,5 à 0,5 de f(x)dx
= F(0,5) - F(-0,5)
= (0,25/2 + 0,5) - (0,25/2 - 0,5)
= 0,5 + 0,5
= 1
⇒ f fonction de densité de proba sur I
2) a) Pour tout t ∈ I :
p(X ≤ t)
= p(-0,5 ≤ X ≤ t)
= Somme de -0,5 à t de f(t)dt
= F(t) - F(-0,5)
= (t²/2 + t) - (0,25/2 - 0,5)
= t²/2 + t + 0,375
b) p(X ≤ 0,2)
= (0,2)²/2 + 0,2 + 0,375
= 0,595
c) Pour tout u ∈ [0 ; 0,5]
p(-u ≤ X ≤ u)
= Somme de -u à u de f(u)du
= F(u) - F(-u)
= (u²/2 + u) - (u²/2 - u)
= 2u
d) p(-0,35 ≤ X ≤ 0,35)
= 2 x 0,35
= 0,70
