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Bonjour Yacine931
Exercice 2
[tex](z-1)(z^2-8z+25)=0\\\\z-1=0\ \ ou\ \ z^2-8z+25=0\\\\z-1=0\Longrightarrow\boxed{z_1=1}\\\\z^2-8z+25=0\\\Delta=(-8)^2-4\times1\times24=64-100=-36\\\\z_2=\dfrac{8+6i}{2}=\dfrac{2(4+3i)}{2}\Longrightarrow\boxed{z_2=4+3i}\\\\z_3=\dfrac{8-6i}{2}=\dfrac{2(4-3i)}{2}\Longrightarrow\boxed{z_3=4-3i}[/tex]
Soient les points A, B et C d'affixes respectives [tex]z_A=i\ ;\ z_B=4+3i\ ;\ z_C=4-3i[/tex]
[tex]AB^2=|z_B-z_A|^2=|(4+3i)-1|^2=|3+3i|^2=3^2+3^2=9+9=18\\\\AC^2=|z_C-z_A|^2=|(4-3i)-1|^2=|3-3i|^2\\\\=3^2+(-3)^2=9+9=18\\\\BC^2=|z_C-z_B|^2=|(4+3i)-(4-3i)|^2=|6i|^2=6^2=36\\\\\Longrightarrow AB^2+AC^2=18+18\\\\\Longrightarrow AB^2+AC^2=36\\\\\Longrightarrow\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
D'où, la proposition est vraie.
Exercice 3
1) a) Le point I est le milieu du segment [AB]
[tex](x_I;y_I;z_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2})\Longrightarrow\boxed{I:(1;1;1)}[/tex]
Le point J est le milieu du segment [CD]
[tex](x_J;y_J;z_J)=(\dfrac{x_C+x_D}{2};\dfrac{y_C+y_D}{2};\dfrac{z_C+z_D}{2})\Longrightarrow\boxed{J:(3;3;-1)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\\\(x_K-x_B;y_K-y_B;z_K-z_B)=\dfrac{1}{3}(x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B)\\\\(x_K-1;y_K-2;z_K-3)=\dfrac{1}{3}(-6;3;-3)\\\\(x_K-1;y_K-2;z_K-3)=(-2;1;-1)\\\\\left\{\begin{matrix}x_K-1=-2\\y_K-2=1\\z_K-3=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_K=-1\\y_K=3\\z_K=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{K:(-1;3;2)}[/tex]
b) Les points définissent un plan car les vecteurs [tex]\overrightarrow{IJ}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IK}[/tex] ne sont pas colinéaires.
En effet, nous avons :
[tex]\overrightarrow{IJ}:(2;2;-2)\ \ et\ \ \overrightarrow{IK}:(-2;2;1)[/tex]
[tex]\dfrac{x_{\overrightarrow{IK}}}{x_{\overrightarrow{IJ}}}=\dfrac{-2}{2}=-1\ \ et\ \ \dfrac{y_{\overrightarrow{IK}}}{y_{\overrightarrow{IJ}}}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
[tex]\Longrightarrow\dfrac{x_{\overrightarrow{IK}}}{x_{\overrightarrow{IJ}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{IK}}}{y_{\overrightarrow{IJ}}}[/tex]
c) Représentation paramétrique du plan (IJK)
Le plan (IJK) passe par le point I(1;1;1) et des vecteurs directeurs sont [tex]\overrightarrow{IJ}:(2;2;-2)\ \ et\ \ \overrightarrow{IK}:(-2;2;1)[/tex]
D'où
[tex](IJK):\left\{\begin{matrix}x=1+2s-2t\\y=1+2s+2t\\z=1-2s+t \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]2)\ a)\ \overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)\\\\\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{IJ}+y\overrightarrow{IK}\Longrightarrow(10;-1;-5)=x(2;2;-2)+y(-2;2;1)\\\\\Longrightarrow(10;-1;-5)=(2x-2y;2x+2y;-2x+y)\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2y=10\\2x+2y=-1\\-2x+y=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x-y=5\\2x+2y=-1\\-2x+y=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5+y\\2y+10+2y=-1\\-10-2y+y=-5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5+y\\4y=-11\\-y=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5+y\\\\\boxed{y=-\dfrac{11}{4}}\\\\\boxed{y=-5} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{Impossible}[/tex]
Donc l'équation [tex]\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{IJ}+y\overrightarrow{IK}[/tex] n'admet pas de solution.
Par conséquent, la droite (BD) n'est pas parallèle au plan (IJK).
b) La droite (BD) passe par le point B(1;2;3) et admet comme vecteur directeur le vecteur [tex]\overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)[/tex]
D'où sa représentation paramétrique :
[tex](BD):\left\{\begin{matrix}x=1+10t\\y=2-t\\z=3-5t \end{matrix}\right.[/tex]
c) Montrons que la droite (BD) et le plan (IJK) sont sécants en un point M en résolvant le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=1+10t'\\y=2-t'\\z=3-5t'\\x=1+2s-2t\\y=1+2s+2t\\z=1-2s+t \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}1+10t'=1+2s-2t\\2-t'=1+2s+2t\\3-5t'=1-2s+t \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}2s-2t-10t'=0\\2s+2t+t'=1\\-2s+t+5t'=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}s=-2\\t=3\\t'=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
D'où,
[tex]\left\{\begin{matrix}x=1-10\\y=2+1\\z=3+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=-9\\y=3\\z=8 \end{matrix}\right.}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{M:(-9;3;8)}[/tex]
d) Le point M est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?
[tex]\overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)\\\\\overrightarrow{MB}:(1+9;2-3;3-8)=(10;-1;-5)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BD}}[/tex]
Par conséquent, le point M est le symétrique du point D par rapport au point B.
Exercice 2
[tex](z-1)(z^2-8z+25)=0\\\\z-1=0\ \ ou\ \ z^2-8z+25=0\\\\z-1=0\Longrightarrow\boxed{z_1=1}\\\\z^2-8z+25=0\\\Delta=(-8)^2-4\times1\times24=64-100=-36\\\\z_2=\dfrac{8+6i}{2}=\dfrac{2(4+3i)}{2}\Longrightarrow\boxed{z_2=4+3i}\\\\z_3=\dfrac{8-6i}{2}=\dfrac{2(4-3i)}{2}\Longrightarrow\boxed{z_3=4-3i}[/tex]
Soient les points A, B et C d'affixes respectives [tex]z_A=i\ ;\ z_B=4+3i\ ;\ z_C=4-3i[/tex]
[tex]AB^2=|z_B-z_A|^2=|(4+3i)-1|^2=|3+3i|^2=3^2+3^2=9+9=18\\\\AC^2=|z_C-z_A|^2=|(4-3i)-1|^2=|3-3i|^2\\\\=3^2+(-3)^2=9+9=18\\\\BC^2=|z_C-z_B|^2=|(4+3i)-(4-3i)|^2=|6i|^2=6^2=36\\\\\Longrightarrow AB^2+AC^2=18+18\\\\\Longrightarrow AB^2+AC^2=36\\\\\Longrightarrow\boxed{AB^2+AC^2=BC^2}[/tex]
Selon la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A.
D'où, la proposition est vraie.
Exercice 3
1) a) Le point I est le milieu du segment [AB]
[tex](x_I;y_I;z_I)=(\dfrac{x_A+x_B}{2};\dfrac{y_A+y_B}{2};\dfrac{z_A+z_B}{2})\Longrightarrow\boxed{I:(1;1;1)}[/tex]
Le point J est le milieu du segment [CD]
[tex](x_J;y_J;z_J)=(\dfrac{x_C+x_D}{2};\dfrac{y_C+y_D}{2};\dfrac{z_C+z_D}{2})\Longrightarrow\boxed{J:(3;3;-1)}[/tex]
[tex]\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\\\(x_K-x_B;y_K-y_B;z_K-z_B)=\dfrac{1}{3}(x_C-x_B;y_C-y_B;z_C-z_B)\\\\(x_K-1;y_K-2;z_K-3)=\dfrac{1}{3}(-6;3;-3)\\\\(x_K-1;y_K-2;z_K-3)=(-2;1;-1)\\\\\left\{\begin{matrix}x_K-1=-2\\y_K-2=1\\z_K-3=-1 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x_K=-1\\y_K=3\\z_K=2 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{K:(-1;3;2)}[/tex]
b) Les points définissent un plan car les vecteurs [tex]\overrightarrow{IJ}[/tex] et [tex]\overrightarrow{IK}[/tex] ne sont pas colinéaires.
En effet, nous avons :
[tex]\overrightarrow{IJ}:(2;2;-2)\ \ et\ \ \overrightarrow{IK}:(-2;2;1)[/tex]
[tex]\dfrac{x_{\overrightarrow{IK}}}{x_{\overrightarrow{IJ}}}=\dfrac{-2}{2}=-1\ \ et\ \ \dfrac{y_{\overrightarrow{IK}}}{y_{\overrightarrow{IJ}}}=\dfrac{2}{2}=1[/tex]
[tex]\Longrightarrow\dfrac{x_{\overrightarrow{IK}}}{x_{\overrightarrow{IJ}}}\neq\dfrac{y_{\overrightarrow{IK}}}{y_{\overrightarrow{IJ}}}[/tex]
c) Représentation paramétrique du plan (IJK)
Le plan (IJK) passe par le point I(1;1;1) et des vecteurs directeurs sont [tex]\overrightarrow{IJ}:(2;2;-2)\ \ et\ \ \overrightarrow{IK}:(-2;2;1)[/tex]
D'où
[tex](IJK):\left\{\begin{matrix}x=1+2s-2t\\y=1+2s+2t\\z=1-2s+t \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]2)\ a)\ \overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)\\\\\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{IJ}+y\overrightarrow{IK}\Longrightarrow(10;-1;-5)=x(2;2;-2)+y(-2;2;1)\\\\\Longrightarrow(10;-1;-5)=(2x-2y;2x+2y;-2x+y)\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}2x-2y=10\\2x+2y=-1\\-2x+y=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x-y=5\\2x+2y=-1\\-2x+y=-5 \end{matrix}\right.\ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5+y\\2y+10+2y=-1\\-10-2y+y=-5 \end{matrix}\right.[/tex]
[tex]\left\{\begin{matrix}x=5+y\\4y=-11\\-y=5 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{\begin{matrix}x=5+y\\\\\boxed{y=-\dfrac{11}{4}}\\\\\boxed{y=-5} \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\boxed{Impossible}[/tex]
Donc l'équation [tex]\overrightarrow{BD}=x\overrightarrow{IJ}+y\overrightarrow{IK}[/tex] n'admet pas de solution.
Par conséquent, la droite (BD) n'est pas parallèle au plan (IJK).
b) La droite (BD) passe par le point B(1;2;3) et admet comme vecteur directeur le vecteur [tex]\overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)[/tex]
D'où sa représentation paramétrique :
[tex](BD):\left\{\begin{matrix}x=1+10t\\y=2-t\\z=3-5t \end{matrix}\right.[/tex]
c) Montrons que la droite (BD) et le plan (IJK) sont sécants en un point M en résolvant le système :
[tex]\left\{\begin{matrix}x=1+10t'\\y=2-t'\\z=3-5t'\\x=1+2s-2t\\y=1+2s+2t\\z=1-2s+t \end{matrix}\right.\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}1+10t'=1+2s-2t\\2-t'=1+2s+2t\\3-5t'=1-2s+t \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}2s-2t-10t'=0\\2s+2t+t'=1\\-2s+t+5t'=2 \end{matrix}\right.\ \ \ \ \Longrightarrow\left\{\begin{matrix}s=-2\\t=3\\t'=-1 \end{matrix}\right.[/tex]
D'où,
[tex]\left\{\begin{matrix}x=1-10\\y=2+1\\z=3+5 \end{matrix}\right.\ \ \ \boxed{\left\{\begin{matrix}x=-9\\y=3\\z=8 \end{matrix}\right.}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{M:(-9;3;8)}[/tex]
d) Le point M est-il le symétrique du point D par rapport au point B ?
[tex]\overrightarrow{BD}:(10;-1;-5)\\\\\overrightarrow{MB}:(1+9;2-3;3-8)=(10;-1;-5)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{BD}}[/tex]
Par conséquent, le point M est le symétrique du point D par rapport au point B.
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