Bonjour,
1)a) I est le milieu de [AB].
Donc IA = -IB (en vecteurs)
Soit : IA + IB = 0 (vecteur nul : avec une flèche)
b) 1/2(MA + MB)
= 1/2(MI + IA + MI + IB)
= 1/2(2MI + 0)
= MI
2) ABC triangle
A' milieu de [BC]
B' milieu de [AC]
C' milieu de [AB]
a) D'après la formule établie au 1)b) :
MA' = 1/2(MB + MC) ⇒ Si M = A, AA' = 1/2(AB + AC)
MB' = 1/2(MA + MC) ⇒ Si M = B, BB' = 1/2(BA + BC)
MC' = 1/2(MA + MB) ⇒ Si M = C, CC' = 1/2(CA + CB)
b)
AA' + BB' + CC' = 1/2(AB + AC) + 1/2(BA + BC) + 1/2(CA + CB)
= 1/2[AB + BA + AC + CA + BC + CB)
= 0
(car AB + BA = AC + CA = BC + CB = 0)
c) G centre de gravité de ABC. Donc G est l'intersection des médianes de ABC.
Et GA = 2/3xA'A, GB = 2/3xB'B, GC = 2/3xC'C
⇒ GA + GB + GC
= 2/3(A'A + B'B + C'C)
= -2/3(AA' + BB'+ CC')
= 0
