Bonjour
Adtht12
Partie 1
1 - 2 - 3) Voir pièce jointe.
Nous pouvons conjecturer que lorsque la distance AM semble être minimale, les droites (AM) et [tex]T_M[/tex] sont perpendiculaires.
Partie 2
Soit M (x ; x²)
[tex]1)\ AM^2=(x_M-x_A)^2+(y_M-y_A)^2\\\\AM^2=(x-\dfrac{1}{2})^2+(x^2-\dfrac{5}{4})^2\\\\AM^2=x^2-x+\dfrac{1}{4}+x^4-\dfrac{5}{2}x^2+\dfrac{25}{16}\\\\\boxed{AM^2=x^4-\dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{29}{16}}[/tex]
[tex]2)\ f(x)=x^4-\dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{29}{16}\\\\f'(x)=(x^4)'-(\dfrac{3}{2}x^2)'-x'+(\dfrac{29}{16})'\\\\f'(x)=4x^3-\dfrac{3}{2}\times2x-1+0\\\\\boxed{f'(x)=4x^3-3x-1}[/tex]
[tex]3)\ (x-1)(4x^2+4x+1)=4x^3+4x^2+x-4x^2-4x-1\\\\(x-1)(4x^2+4x+1)=4x^3-3x-1\\\\\boxed{(x-1)(4x^2+4x+1)=f'(x)}[/tex]
[tex]4)\ f'(x)=(x-1)(4x^2+4x+1)\\\\f'(x)=(x-1)(2x+1)^2\\\\\\\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-\frac{1}{2}&&1&&+\infty\\x-1&&-&-&-&0&+&\\(2x+1)^2&&+&0&+&+&+&\\&&&&&&&\\f'(x)&&-&0&-&0&+&\\&&&&&&&\\f(x)&&\searrow&2&\searrow&\dfrac{5}{16}&\nearrow&\\ \end{array}[/tex]
Par conséquent, f admet un minimum pour x = 1.
5) a) Soit g(x) = x²
Alors l'équation de la tangente à P au point B(1 ; 1) est de la forme :
y = g'(1)(x - 1) + 1
Or g(x) = x² ==> g'(x) = 2x ==> g'(1)=2*1 = 2
Donc l'équation de la tangente à P au point B(1 ; 1) est y = 2(x - 1) + 1
y = 2x - 2 + 1
[tex]\boxed{(T_B):y=2x-1}[/tex]
b) Les droites (AB) et [tex](T_B)[/tex] sont perpendiculaires si le produit de leurs coefficient directeurs est égal à -1.
Or
[tex]Coeff.\ direct.\ de\ (AB)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{1-\dfrac{5}{4}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{-\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{2}}=-\dfrac{1}{2}\\\\\\Coeff.\ direct.\ de\ (T_B)=2[/tex]
Montrons que le produit de ces coefficients directeurs est égal à -1.
[tex]-\dfrac{1}{2}\times2=-\dfrac{2}{2}=\boxed{-1}[/tex]
Par conséquent, les droites (AB) et [tex](T_B)[/tex] sont perpendiculaires.
c) Conclure.
Puisque f admet un minimum pour x = 1,la distance AM est minimale lorsque les droites (AM) et [tex]T_M[/tex] sont perpendiculaires.
