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résolu

Bonjour help please


Soit la fonction f définie sur ℝ par f(x)=e^2x sin⁡x .
1.Calculer f^' (x) et f^'' (x) , où f^'' est la fonction dérivée de f^'.
2.Trouver des nombres réels a et b tels que pour tout x , on ait : f(x)=af^'' (x)+bf^' (x).
3.En déduire l’ensemble des primitives de f sur ℝ .

Répondre :

CAYLUSVIZ
Bonjour,

1)
[tex]f(x)=e^{2x}*sin(x)\\ f'(x)=e^{2x}*2*sin(x)+e^{2x}*cos(x)=e^{2x}*(2sin(x)+cos(x))\\ [/tex]

[tex]f''(x)=4*e^{2x}*2*sin(x)+2*e^{2x}*cos(x)\\ +2*e^{2x}cos(x)-e^{2x}*sin(x)\\ =e^{2x}*(3sin(x)+4cos(x))[/tex]


2)
Après simplification par e^(2x):

a(3sin(x)+4cos(x))+b(2sin(x)+cos(x))=sin(x)
==>3a+2b=1
et 4a+b=0
==> a=-1/5 et b=4/5

[tex]F(x)=-\frac{1}{5}*f(x)+\frac{4}{5}*f'(x)+C ....[/tex]
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