Bonjour
Mialgrfr
Déterminons les coordonnées des points d'intersection de la trajectoire avec l'axe des abscisses.
Les abscisses de ces points seront les solutions de l'équation y = 0
[tex]-\dfrac{g}{2(v\times\cos\alpha)^2}x^2+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}x=0\\\\\\x \left(\dfrac{-g}{2(v\times\cos\alpha)^2}x+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right )=0\\\\\\x=0\ \ ou\ \ \dfrac{-g}{2(v\times\cos\alpha)^2}x+\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=0\\\\\\x=0\ \ ou\ \ \dfrac{g}{2(v\times\cos\alpha)^2}x=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\\\\x=0\ \ ou\ \ x=\dfrac{2(v\times\cos\alpha)^2}{g}\times\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}[/tex]
[tex]\\\\\\x=0\ \ ou\ \ x=\dfrac{2v^2\times\cos^2\alpha}{g}\times\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\\\\x=0\ \ ou\ \ x=\dfrac{2v^2\times\cos\alpha\times\sin\alpha}{g}\\\\\\x=0\ \ ou\ \ x=\dfrac{v^2}{g}\times2\sin\alpha\cos\alpha\\\\\\\boxed{x=0\ \ ou\ \ x=\dfrac{v^2}{g}\times\sin(2\alpha)}[/tex]
Par conséquent,
les coordonnées des points d'intersection de la trajectoire avec l'axe des abscisses sont [tex]\boxed{(0;0)\ et\ (\dfrac{v^2}{g}\times\sin(2\alpha);0)}[/tex]
L'angle alpha permettant d'envoyer la balle le plus loin possible correspond à la plus grande valeur pour [tex]x=\dfrac{v^2}{g}\times\sin(2\alpha)[/tex]
Puisque v et g sont deux constantes, il faut que la valeur de [tex]\sin(2\alpha)[/tex] soit la plus grande possible.
D'où il faut que :
[tex]\sin(2\alpha)=1\\\\\Longrightarrow2\alpha=\dfrac{\pi}{2}\\\\\Longrightarrow\boxed{\alpha=\dfrac{\pi}{4}}[/tex]
