Il va falloir mettre des notations en place :
Soit A : "être allé en Allemagne" E: "être allé en Espagne" et I: "être allé en Italie" et N: être allé nul part" et P(A), P(E), P(I) et P(N), leur probabilité respective. On appelle ω le nombre totale d'élève soit ω=480 élèves.
On cherche à prouver que P(A∩E∩I)=15/100.
On peut écrire la relation suivante :
P(A∪E∪I)=P(A)+P(E)+P(I)-P(A∩E)-P(A∩I)-P(E∩I)+P(A∩E∩I)
La probabilité P(A∪E∪I) est le contraire que la probabilité d’être allé nul-part donc on peut écrire :
P(A∪E∪I)=1-P(N)=1-(60/480)=420/480
Toutes les probabilités de la relation sont connus grâce à l'énoncé donc on peut écrire :
(420/480)=((111+217+218-105-100-93)/480)+P(A∩E∩I) d'où :
420/480=(248/480)+P(A∩E∩I) d'où :
P(A∩E∩I)=(420-248)/480=(172/480)=(43/120) qui est différent de (15/100) donc le proviseur à tord.
