Bonjour
Wendy14
Pour démontrer que les points E, F, G et H sont alignés, il suffit de montrer qu'il existe deux nombres réels r et s tels que [tex]\boxed{\overrightarrow{EF}=r\overrightarrow{EG}+s\overrightarrow{EH}}[/tex]
D'une part, nous avons :
[tex]\boxed{\overrightarrow{AG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}}\\\\\\\left\{\begin{matrix}\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\\\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF} \end{matrix}\right.\Longrightarrow\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AF}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF})+(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CF})\\\\\\\Longrightarrow2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+(\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CF})[/tex]
[tex]\Longrightarrow2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{0}\\\\\Longrightarrow2\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{AF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}}[/tex]
[tex]\boxed{\overrightarrow{AE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}\\\\\\\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CH}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AD})\\\\\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AC}-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}\\\\\boxed{\overrightarrow{AH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}}[/tex]
D'où, nous pouvons déduire que :
[tex]\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AF}\\\\\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}\\\\\overrightarrow{EF}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\\\boxed{2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}}\ \ \ [relation\ (1)][/tex]
[tex]\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AG}\\\\\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AE}\\\\\boxed{\overrightarrow{EG}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}}[/tex]
[tex]\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AH}\\\\\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{AH}-\overrightarrow{AE}\\\\\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AD}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}\\\\\boxed{\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD}}[/tex]
[tex]\Longrightarrow\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\dfrac{1}{6}\overrightarrow{AD}\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EH}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AD}\\\\\Longrightarrow\boxed{3(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EH})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}}\ \ \ [relation\ (2)][/tex]
Des relations (1) et (2), nous pouvons déduire que :
[tex]2\overrightarrow{EF}=3(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EH})\\\\\Longrightarrow\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{2}(\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{EH})\\\\\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{EF}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EG}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{EH}}[/tex]
Par conséquent, les points E, F, G et H sont alignés car il existe deux nombres réels r et s tels que [tex]\boxed{\overrightarrow{EF}=r\overrightarrow{EG}+s\overrightarrow{EH}}[/tex].
Il suffit de prendre [tex]\boxed{r=\dfrac{3}{2}\ \ et\ \ s=\dfrac{3}{2}}[/tex]
