Bonjour
H9hu8fs
f(x) = x² - 6x + 2
2) Sens de variation de f
[tex]a)\ \left\{\begin{matrix}f(x_1)=(x_1)^2-6x_1+2\\\\f(x_2)=(x_2)^2-6x_2+2 \end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow f(x_1)-f(x_2=[(x_1)^2-6x_1+2]-[(x_2)^2-6x_2+2]\\\\f(x_1)-f(x_2=(x_1)^2-6x_1+2-(x_2)^2+6x_2-2\\\\f(x_1)-f(x_2=(x_1)^2-(x_2)^2-6x_1+6x_2\\\\f(x_1)-f(x_2=[(x_1)^2-(x_2)^2]-6(x_1-x_2)\\\\f(x_1)-f(x_2=(x_1+x_2)\underline{(x_1-x_2)}-6\underline{(x_1-x_2)}\\\\f(x_1)-f(x_2=\underline{(x_1-x_2)}(x_1+x_2-6)\\\\\\\Longrightarrow\boxed{f(x_1)-f(x_2)=(x_1-x_2)(x_1+x_2-6)}[/tex]
b) Décroissance de f sur l'intervalle ]-oo ; 3]
Soit [tex]x_1,\ x_2\in\ ]-\infty;3]\ tel\ que\ x_1\ \textless \ x_2[/tex]
Alors
[tex]x_1\ \textless \ x_2\Longrightarrow\boxed{x_1-x_2\ \textless \ 0}\\\\x_1,\ x_2\in\ ]-\infty;3]\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x_1\le3\\x_2\le3 \end{matrix}\right.\Longrightarrow x_1+x_2\le3+3\Longrightarrow x_1+x_2\le6\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x_1+x_2-6\le0}[/tex]
D'où [tex](x_1-x_2)(x_1+x_2-6)\ge0[/tex]
soit [tex]f(x_1)-f(x_2)\ge0[/tex]
ou encore [tex]f(x_1)\ge f(x_2)[/tex]
En résumé,
[tex]x_1,\ x_2\in\ ]-\infty;3],\boxed{x_1\ \textless \ x_2\Longrightarrow f(x_1)\ge f(x_2)}[/tex]
Par conséquent, la fonction f est décroissante sur l'intervalle ]-oo ; 3].
Croissance de f sur l'intervalle [3 ; +oo[
Soit [tex]x_1,\ x_2\in\ [3;+\infty[\ tel\ que\ x_1\ \textless \ x_2[/tex]
Alors
[tex]x_1\ \textless \ x_2\Longrightarrow\boxed{x_1-x_2\ \textless \ 0}\\\\x_1,\ x_2\in\ [3;+\infty[\Longrightarrow\left\{\begin{matrix}x_1\ge3\\x_2\ge3 \end{matrix}\right.\Longrightarrow x_1+x_2\ge3+3\Longrightarrow x_1+x_2\ge6\\\\\\\Longrightarrow\boxed{x_1+x_2-6\ge0}[/tex]
D'où [tex](x_1-x_2)(x_1+x_2-6)\le0[/tex]
soit [tex]f(x_1)-f(x_2)\le0[/tex]
ou encore [tex]f(x_1)\le f(x_2)[/tex]
En résumé,
[tex]x_1,\ x_2\in\ [3;+\infty[,\boxed{x_1\ \textless \ x_2\Longrightarrow f(x_1)\le f(x_2)}[/tex]
Par conséquent, la fonction f est croissante sur l'intervalle [3;+oo[.
c) Nous en déduisons que la fonction f admet un minimum pour x = 3.
[tex]f(x)=x^2-6x+2\Longrightarrow f(3)=3^2-6\times3+2 = 9-18+2=-7[/tex]
Par conséquent, la valeur minimale de f est égale à -7.
3) Antécédents de 0
1) Montrons que [tex]f(3+\sqrt{7})=0[/tex]
En effet,
[tex]f(3+\sqrt{7})=(3+\sqrt{7})^2-6(3+\sqrt{7})+2\\\\f(3+\sqrt{7})=3^2+6\sqrt{7}+(\sqrt{7})^2-18-6\sqrt{7}+2\\\\f(3+\sqrt{7})=9+6\sqrt{7}+7-18-6\sqrt{7}+2\\\\f(3+\sqrt{7})=9+7-18+2+6\sqrt{7}-6\sqrt{7}\\\\\boxed{f(3+\sqrt{7})=0}[/tex]
Par conséquent [tex]3+\sqrt{7}[/tex] est un antécédent de 0 par la fonction f.
[tex]b)\ (x-3)^2-7=x^2-2\times3\times x+3^2-7\\\\(x-3)^2-7=x^2-6x+9-7\\\\(x-3)^2-7=x^2-6x+2\\\\\boxed{(x-3)^2-7=f(x)}[/tex]
d) Pour déterminer les antécédents de 0, il faut résoudre l'équation f(x) = 0
[tex]f(x)=0\\\\(x-3)^2-7=0\\\\(x-3)^2-(\sqrt{7})^2=0\\\\ \ [(x-3)-\sqrt{7}][(x-3)+\sqrt{7}]=0\\\\(x-3-\sqrt{7})(x-3+\sqrt{7})=0\\\\x-3-\sqrt{7}=0\ \ ou\ \ x-3+\sqrt{7}=0\\\\\boxed{x=3+\sqrt{7}\ \ ou\ \ x=3-\sqrt{7}}[/tex]
Par conséquent, les antécédents de 0 par la fonction f sont [tex]\boxed{3+\sqrt{7}\ \ et\ \ 3-\sqrt{7}}[/tex]
