Bonjour,
On chercher à démontrer que (uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)
Soit la fonction f le produit des fonctions u et v.
[tex] \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = \frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}[/tex][tex]=\frac{u(a+h)v(a+h)-u(a)v(a+h)+u(a)v(a+h)-u(a)v(a)}{h}[/tex]
[tex]= \frac{u(a+h)-u(a)}{h} v(a+h)+u(a) \frac{v(a+h)-v(a)}{h} [/tex]
[tex]= \frac{(u(a+h)-u(a))v(a+h)+u(a)(v(a+h)-v(a))}{h}[/tex]
Or, u et v sont dérivables : [tex]\lim_{h \to 0} \frac{u(a+h)-u(a)}{h} =u'(a)[/tex] et [tex]\lim_{h \to 0} \frac{v(a+h)-v(a)}{h} =v'(a)[/tex] et [tex]\lim_{h \to 0} v(a+h)=v(a)[/tex]
Donc [tex]\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} =u'(a)v(a)+v'(a)u(a)[/tex], f est dérivable en a : [tex]f'(a)=u'(a)v(a)+v'(a)u(a)[/tex]
CQFD
