Exercice 1
1) Compléter le tableau :
Carte bancaire 8 30 38
Espèces 152 10 162
TOTAL 160 40 200
2) C → "Le client paie par CB"
G → "le client paie au Guichet"
a) La probabilité pour que le gagnant ait payé par CB est de 38/200=0,19 (car (30+8 règlements par CB)
b) La probabilité pour que le gagnant ait payé au guichet avec sa carte bancaire est de 8/200=0,04
3) La probabilité qu'il ait payé en CB est 30/40 = 0,75.
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Exercice 2
1)a] M est un point du segment [AB], avec AB = 8
M pourrait être confondu avec A ---> AM = 0
et M pourrait être confondu avec B ---> AB = 8
Or, on vous dit que AM = 2x
donc → 2x sera compris entre 0 et 8
mais x sera dans l'intervalle [ 0 ; 4 ]
1.b] Démontrer que f(x) = π(x² - 4x +8)
f(x) c'est la partie grise, c'est-à-dire la somme des 2 demi-disques :
- L'un de diamètre AM
- L'autre de diamètre MB.
Formule de calcul de l'aire d'un disque = π × R² (On divise par 2 pour obtenir l'aire d'1/2 disque).
a) Aire du demi-disque de diamètre AM :
a) = π ×(AM / 2)² / 2
a)= π × (2x / 2)² / 2
a)= π × (x² / 2)
b)= Aire du demi-disque de diamètre MB est :
b) = π × (MB/2)² / 2
b)= π × [(AB - AM)/2]² / 2
b)= π × [(8 - 2x)/2]² / 2
b)= π × [2(4 - x)/2]² / 2
b)= π × (4 - x)² / 2
b)= π × [4² + x² - 2(x * 4)] / 2
b)= π × (16 + x² - 8x) / 2
En résumé → f(x) = a + b
On résout :
f(x) = [π(x²/2)] + [ π(x² - 8x + 16)/2]
f(x) = [π × x² + π(x² - 8x + 16)] / 2
On met π en facteur → π (x² + x² - 8x + 16) / 2
On résout → π(2x² - 8x + 16) / 2
f(x) = π×2(x² - 4x + 8) / 2
f(x) = π(x² - 4x + 8)
(CQFD=> ce qu'il fallait démontrer)
1.c] L'aire de la partie blanche est en réalité l'aire du demi-disque de diamètre AB moins l'aire de la partie grise.
on a démontrer à la question précédente que l'aire de la partie grise est :
f(x) = π(x² - 4x + 8) d'une part,
Reste donc à calculer l'aire "A" du demi-disque de diamètre AB est :
A = [π(AB / 2)²] / 2
A = [ π (8 / 2)²] / 2
A = (π × 4²) / 2
A = π ×16 / 2
A = π × 8 → A = 8π
→ donc l'aire de la partie blanche sera : 8π - π(x² -4x +8)
On résout :
Aire blanche = π(8 - x² + 4x - 8)
Aire blanche = π(-x² + 4x)
Aire blanche = π(4x - x²)
L'aire de la partie blanche en fonction de x est égale à π(4x - x²)
donc Aire blanche = f(x)
π(4x - x²) = π(x² - 4x + 8)
(4x - x²) = (x² - 4x + 8)
4x - x² = x² - 4x + 8
x² - 4x + 8 - 4x + x² = 0
2x² - 8x + 8 = 0
2(x² - 4x + 4) = 0
x² - 4x + 4 = 0
x² - 2(x * 2) + 4 = 0
x² - 2(x * 2) + 2² = 0
(x - 2)² = 0
x = 2
La partie colorée peut être égale à celle de la partie blanche lorsque
x = 2
Conclusion quand x = 2 → les aires sont égales :
l'aire de la partie grise est 4π
et l'aire de la partie blanche est 4π.
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Question 2) Périmètre du demi-disque = (2 × π × R) / 2 ce qui revient à calculer π×R
Rayon du demi-cercle de diamètre AB = 8 ÷ 2 = 4
Calcul du périmètre du demi-cercle de diamètre AB = π × 4 = 4π
On remarque que les 2 aires grisées et blanche ainsi que le périmètre du demi-cercle de Diamètre AB ont même mesure : 4π
