Bonjour Fimeo,
1) Graphiquement, nous pouvons lire que :
f(1) = 3 car les coordonnées du point A semblent être (1 ; 3)
f(2) = 2 car les coordonnées du point B semblent être (2 ; 2)
f '(2) = 0 car la tangente à la courbe au point B est parallèle à l'axe des abscisses. Son coefficient directeur est donc égal à 0.
2) Déduire a, b et c
Il faut résoudre le système suivant :
[tex]\left\{\begin{matrix}f(1)=3\\f(2)=2\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.[/tex]
Or [tex]\boxed{f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x}}\Longrightarrow\boxed{f'(x)=a-\dfrac{c}{x^2}}[/tex]
Donc
[tex]\left\{\begin{matrix}f(1)=3\\f(2)=2\\f'(2)=0 \end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\2a+b+\dfrac{c}{2}=2\\a-\dfrac{c}{4}=0 \end{matrix}\right.\\\\\\a-\dfrac{c}{4}=0\Longleftrightarrow a=\dfrac{c}{4}\Longleftrightarrow\boxed{c=4a}[/tex]
D'où
[tex]\left\{\begin{matrix}a+b+c=3\\2a+b+\dfrac{c}{2}=2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}a+b+4a=3\\2a+b+2a=2\end{matrix}\right.\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}5a+b=3\\4a+b=2\end{matrix}\right.\\\\\\\Longleftrightarrow\left\{\begin{matrix}b=3-5a\\b=2-4a\end{matrix}\right.\\\\\\\Longrightarrow3-5a=2-4a\\\\\Longrightarrow4a-5a=2-3\\\\\Longrightarrow-a=-1\\\\\Longrightarrow\boxed{a=1}[/tex]
Par conséquent,
[tex]b=3-5a=3-5\times1=3-5=-2\Longrightarrow\boxed{b=-2}\\\\a+b+c=3\Longrightarrow1-2+c=3\Longrightarrow\boxed{c=4}[/tex]
D'où
[tex]a=1\ ; b=-2\ ;\ c=4\ \Longrightarrow\boxed{f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}}[/tex]
3) L'équation réduite de la tangente (t) en A(1 ; 3) à la courbe est de la forme : [tex]\boxed{y=f'(1)(x-1)+f(1)}[/tex]
Or
[tex]f(x)=x-2+\dfrac{4}{x}\Longrightarrow f(1)=1-2+\dfrac{4}{1}=3\Longrightarrow\boxed{f(1)=3}\\\\f'(x)=1-\dfrac{4}{x^2}\Longrightarrow f'(1)=1-\dfrac{4}{1}=1-4=-3\Longrightarrow\boxed{f'(1)=-3}[/tex]
D'où
[tex](t):y=-3(x-1)+3\\\\(t):y=-3x+3+3\\\\\boxed{(t):y=-3x+6}[/tex]
Graphique en pièce jointe.
