1)a) Soit la suite W(n) définis par:
W(n)=(n+2(-1)^n)/(n+2) avec n entier naturel
on définis les nombres paires par n=2k avec k entier naturel donc
W(2k)=(2k+2(-1)^(2k))/(2k+2)
W(2k)=(2k+2)/(2k+2) car (-1)^(2k)=1
W(2k)=1 si n pairs
b) On définis W(n) par son expression et n ets impair si n=2k+1 avec k entier naturel donc:
W(2k+1)=(2k+1+2(-1)^(2k+1))/(2k+1+2)
W(2k+1)=(2k-1)/(2k+3) car (-1)^(2k+1)=-1
2)a)P(n)=W(2n)
P(n)=(2n+2(-1)^(2n))/(2n+2)
P(n)=(2n+2)/(2n+2)
P(n)=1
On remarque que P(n)=W(2k)=1 donc cette suite est constante
b) I(n)=W(2n+1)
I(n)=(2n-1)/(2n+3)
I(n+1)=(2(n+1)-1)/(2(n+1)+3)
I(n+1)=(2n+1)/(2n+5)
I(n+1)-I(n)
=(2n+1)/(2n+5)-(2n-1)/(2n+3)
=8/[(2n+3)(2n+5)]
Si n ∈ Z alors I(n+1)-I(n)>0 donc la suite I est croissante.
3) Si I(n) est croissante alors W(n) tends vers ∞
