Bonjour,
1) f(x) = 5 - 1/(2 - x)
(de la forme a - 1/u(x) donc dérivée : u'/u²)
f'(x) = -1/(2 - x)²
⇔ f'(x) = -1/(x² - 4x + 4)
2) g(x) = (5x - 9)/(x - 2)
(de la forme u/v, donc dérivée : (u'v - uv')/v²)
g'(x) = [5(x - 2) - (5x - 9)]/(x - 2)²
⇔ g'(x) = -1/(x - 2)² = -1/(x² - 4x + 4)
3) On constate que g'(x) = f'(x)
4) (f - g)(x)
= f(x) - g(x)
= 5 - 1/(2 - x) - (5x - 9)/(x - 2)
= [5(2 - x) - 1 + (5x - 9)]/(2 - x)
= (10 - 5x - 1 + 5x - 9)/(2 - x)
= 0
On constate que la dérivée (f - g)' est constamment égale à 0.
Or (f - g)'(x) = f'(x) - g'(x)
Donc f'(x) ≠ g'(x)
Ce qui est conforme avec la conclusion de la question 3.
5) Si f' = g'
alors f' - g' = 0
soit (f - g)' = 0
Mais cela n'implique pas nécessairement f = g :
Posons f(x) = u(x) + k u étant une fonction quelconque et k étant un réel quelconque
et g(x) = u(x) + k' avec k'≠k
On a alors f'(x) = u'(x) et g'(x) = u'(x)
Soit f'(x) = g'(x)
ou encore (f - g)(x) = 0 alors que f(x) ≠ g(x)
