Bonjour
Laura661
1) Dans l'urne, il y a n boules dont 3 blanches et (n-3) noires.
D'où, la probabilité de tirer une boule noire est [tex]\boxed{p(n)=\dfrac{n-3}{n}}[/tex]
2) On ajoute une boule noire dans l'urne.
Il y a donc (n+1) boules dans l'urne dont 3 blanches et (n-2) noires.
D'où, la probabilité de tirer une boule noire est [tex]\boxed{q(n)=\dfrac{n-2}{n+1}}[/tex]
3) a) Variations de f sur l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex]f(x)=\dfrac{x-3}{x}\\\\f'(x)=\dfrac{(x-3)'\times x-(x-3)\times x'}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{1\times x-(x-3)\times1}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{x-x+3}{x^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3}{x^2}\ \textgreater \ 0\Longrightarrow\boxed{f\ est\ croissante\ sur\ ]0;+\infty[}[/tex]
Variations de g sur l'intervalle ]0 ; +oo[
[tex]g(x)=\dfrac{x-2}{x+1}\\\\g'(x)=\dfrac{(x-2)'\times(x+1)-(x-2)\times(x+1)'}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{1\times(x+1)-(x-2)\times1}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{x+1-x+2}{(x+1)^2}\\\\g'(x)=\dfrac{3}{(x+1)^2}\ \textgreater \ 0\Longrightarrow\boxed{g\ est\ croissante\ sur\ ]0;+\infty[}[/tex]
b) Courbes en pièce jointe.
c) Comparer f et g sur [3;+oo[
[tex]f(x)-g(x)=\dfrac{x-3}{x}-\dfrac{x-2}{x+1}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)-x(x-2)}{x(x+1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{x^2+x-3x-3-x^2+2x}{x(x+1)}\\\\f(x)-g(x)=\dfrac{-3}{x(x+1)}[/tex]
Or x ∈ [3;+oo[ ==> x ≥ 3 ==> x(x+1) > 0
Donc f(x) - g(x) < 0 car -3 < 0 et x(x+1) > 0
Par conséquent, pour tout x ≥ 3, nous avons : f(x) < g(x).
d) Par les définitions de l'énoncé, nous savons que p(n) = f(n) et q(n) = g(n)
Puisque pour tout x ≥ 3, g(x) > f(x), nous en déduisons que pour tout n ≥ 3, q(n) > p(n).
e) Ce résultat était prévisible car si le nombre de boules noires augmente en laissant constant le nombre de boules blanches, la probabilité de tirer une boule noire dans l'urne augmente.
